Seja p um número primo e sejam a, b inteiros arbitrarios. Mostre que:
Se a^p equiv b^p(bmod p) então a equiv b(bmod p)

Passo 1

O enunciado diz que p é primo e que, para inteiros a,b, vale
a^pequiv b^ppmod p
Queremos mostrar que isso implica
aequiv bpmod p
Vamos usar duas ideias centrais: a fatoração
a^p - b^p = (a-b)l(a^p-1+a^p-2b+cdots+b^p-1r)
e o Teorema de Fermat, que afirma que para todo inteiro x não divisível por p
x^p-1equiv1pmod p

Passo 2

Da congruência a^pequiv b^ppmod p segue
a^p - b^p equiv 0pmod p Longrightarrow pmidl(a^p - b^pr)
Pela fatoração, p divide o produto
(a-b),l(a^p-1+a^p-2b+cdots+b^p-1r)
Como p é primo, ele deve dividir pelo menos um dos dois fatores:
  • ou pmid(a-b),
  • ou pmid l(a^p-1+a^p-2b+cdots+b^p-1r).

Passo 3

Se pmid(a-b), então estamos feitos, pois isso é exatamente
aequiv bpmod p

Passo 4

Resta considerar o caso
pmid S, onde S = a^p-1+a^p-2b+cdots+b^p-1
Vamos mostrar que mesmo daí decorre aequiv bpmod p.
Caso 1: pmid a.
Então aequiv0pmod p. Como a^pequiv b^ppmod p, segue b^pequiv0, logo bequiv0pmod p.
Daí aequiv bequiv0pmod p.
Caso 2: pnmid a.
Nesse caso a é invertível em Z/p. Defina
x equiv b,a^-1pmod p
Então
S equiv a^p-1l(1 + x + x^2 + cdots + x^p-1r)pmod p
Como pnmid a, pelo Teorema de Fermat a^p-1equiv1. Também, se bnotequiv apmod p então xnotequiv1, e a soma geométrica vale
1 + x + x^2 + cdots + x^p-1 = x^p - 1x-1 equiv x - 1x-1 equiv 1pmod p
Logo
Sequiv 1cdot1 = 1pmod p,
o que contradiz pmid S. A única forma de evitar contradição é ter xequiv1, ou seja b,a^-1equiv1, isto é
bequiv apmod p

Resposta

Portanto, em todo caso a hipótese a^pequiv b^ppmod p implica
aequiv bpmod p

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