Seja
um número primo e sejam
inteiros arbitrarios. Mostre que:
Se
então
Se
Passo 1
O enunciado diz que
é primo e que, para inteiros
, vale
Queremos mostrar que isso implica
Vamos usar duas ideias centrais: a fatoração
e o Teorema de Fermat, que afirma que para todo inteiro
não divisível por
Passo 2
Da congruência
segue
Pela fatoração,
divide o produto
Como
é primo, ele deve dividir pelo menos um dos dois fatores:
- ou
, - ou
.
Passo 3
Se
, então estamos feitos, pois isso é exatamente
Passo 4
Resta considerar o caso
Vamos mostrar que mesmo daí decorre
.
Caso 1:
.
Então . Como
, segue
, logo
.
Daí .
Então
Daí
Caso 2:
.
Nesse caso é invertível em
. Defina
Nesse caso
Então
Como
, pelo Teorema de Fermat
. Também, se
então
, e a soma geométrica vale
Logo
o que contradiz
. A única forma de evitar contradição é ter
, ou seja
, isto é
Resposta
Portanto, em todo caso a hipótese
implica