Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
(1 ponto) A projeção de um vetor
sobre o vetor
, não nulo, é linealmente independente com
.
(1 ponto) A projeção de um vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a projeção de um vetor
sobre um vetor não nulo
é linearmente independente de
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre projeção de vetores e independência linear, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a projeção de
sobre
. A projeção, denotada por
, é o vetor que representa a sombra de
na direção de
. A fórmula para calcular isso é:
Isso significa que a projeção é basicamente
multiplicado por algum escalar.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre independência linear. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Em outras palavras, se
só tem a solução
, então
e
são independentes.
Passo 4
Voltando ao nosso caso, a projeção
é igual a
. Aqui, vemos que
é um múltiplo de
. Isso significa que
e
estão na mesma direção e, portanto, são dependentes linearmente.
Resposta
Falso. A projeção de
sobre
é um múltiplo de
, o que significa que são linearmente dependentes.