Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
(1 ponto) A projeção de um vetor u sobre o vetor v, não nulo, é linealmente independente com v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a projeção de um vetor u sobre um vetor não nulo v é linearmente independente de v. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre projeção de vetores e independência linear, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a projeção de u sobre v. A projeção, denotada por projv u, é o vetor que representa a sombra de u na direção de v. A fórmula para calcular isso é:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Isso significa que a projeção é basicamente v multiplicado por algum escalar.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre independência linear. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Em outras palavras, se a cdot v + b cdot w = 0 só tem a solução a = b = 0, então v e w são independentes.

Passo 4

Voltando ao nosso caso, a projeção projv u é igual a ( u cdot vv cdot v ) v. Aqui, vemos que projv u é um múltiplo de v. Isso significa que projv u e v estão na mesma direção e, portanto, são dependentes linearmente.

Resposta

Falso. A projeção de u sobre v é um múltiplo de v, o que significa que são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados