Determine se o seguinte conjunto
V=a+b x+c x^2: a, b, c in R e a+b+c=0,
é um subespaço do espaço vetorial dos polinômios de segundo grau: P2[x].

Passo 1

O enunciado define
V = ,a + b x + c x^2 : a,b,cinR e a+b+c=0 subset P2[x]
Queremos verificar se V é um subespaço de P2[x]. Para isso usamos o teste padrão de subespaço:
  1. Vneqvarnothing;
  2. se p,qin V então p+qin V;
  3. se pin V e lambdainR então lambda pin V.

Passo 2

(Não vazio) O polinômio zero é 0(x)=0+0x+0x^2. Como
0+0+0=0,
temos 0(x)in V. Logo Vneqvarnothing.

Passo 3

(Fechamento em soma) Tomemos
p(x)=a+bx+cx^2, q(x)=d+ex+fx^2
com a+b+c=0 e d+e+f=0. Então
p(x)+q(x)=(a+d)+(b+e)x+(c+f)x^2
e
(a+d)+(b+e)+(c+f)=(a+b+c)+(d+e+f)=0+0=0
Isso mostra p+qin V.

Passo 4

(Fechamento em escalar) Seja lambdainR e
p(x)=a+bx+cx^2in V, a+b+c=0
Então
lambda,p(x)=lambda a+(lambda b)x+(lambda c)x^2,
e
lambda a+lambda b+lambda c=lambda(a+b+c)=lambdacdot0=0
Logo lambda pin V.

Resposta

V é subespaço de P2[x].

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