Determine a posição relativa e calcule as distâncias.
Entre os planos
e
.
Entre os planos
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem dois planos no espaço:
- Plano
: - Plano
:
O que a gente precisa fazer é descobrir como esses dois planos estão posicionados um em relação ao outro e calcular a distância entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre planos paralelos e a distância entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal é aquele que é perpendicular ao plano e é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano.
- Vetor normal do plano
, - Vetor normal do plano
,
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses vetores normais são paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo do outro. Vamos ver se existe um número
tal que
.
Observando:
Como encontramos um mesmo valor de
para todas as componentes, os vetores normais são múltiplos entre si. Isso significa que os planos
e
são paralelos.
Passo 4
Agora que sabemos que os planos são paralelos, precisamos verificar se eles são coincidentes (ou seja, são o mesmo plano) ou se são distintos. Para isso, podemos calcular a distância entre os dois planos. Se a distância for zero, eles são o mesmo plano; caso contrário, são planos paralelos diferentes.
A fórmula para a distância
entre dois planos paralelos
e
é:
Passo 5
Primeiro, precisamos ajustar as equações dos planos para a forma
:
- Plano
: → - Plano
: → Para comparar com o plano , vamos multiplicar todos os termos do plano por 2:
Agora,
Passo 6
Aplicando a fórmula da distância:
Resposta
Os planos
e
são paralelos e a distância entre eles é
unidades.