Determine a posição relativa e calcule as distâncias.
Entre os planos alpha: 2x+2y-4z=5 e beta: x+y-2z=1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem dois planos no espaço:
  • Plano alpha: 2x + 2y - 4z = 5
  • Plano beta: x + y - 2z = 1
O que a gente precisa fazer é descobrir como esses dois planos estão posicionados um em relação ao outro e calcular a distância entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre planos paralelos e a distância entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal é aquele que é perpendicular ao plano e é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano.
  • Vetor normal do plano alpha, nalpha = (2, 2, -4)
  • Vetor normal do plano beta, nbeta = (1, 1, -2)

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses vetores normais são paralelos. Dois vetores são paralelos se um é múltiplo do outro. Vamos ver se existe um número k tal que nalpha = k cdot nbeta.
Observando:
2 = k cdot 1 k = 2
2 = k cdot 1 k = 2
-4 = k cdot (-2) k = 2
Como encontramos um mesmo valor de k para todas as componentes, os vetores normais são múltiplos entre si. Isso significa que os planos alpha e beta são paralelos.

Passo 4

Agora que sabemos que os planos são paralelos, precisamos verificar se eles são coincidentes (ou seja, são o mesmo plano) ou se são distintos. Para isso, podemos calcular a distância entre os dois planos. Se a distância for zero, eles são o mesmo plano; caso contrário, são planos paralelos diferentes.
A fórmula para a distância d entre dois planos paralelos Ax + By + Cz = D1 e Ax + By + Cz = D2 é:
d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 5

Primeiro, precisamos ajustar as equações dos planos para a forma Ax + By + Cz = D:
  • Plano alpha: 2x + 2y - 4z = 5 D1 = 5
  • Plano beta: x + y - 2z = 1 → Para comparar com o plano alpha, vamos multiplicar todos os termos do plano beta por 2:
2(x + y - 2z) = 2 cdot 1 2x + 2y - 4z = 2
Agora, D2 = 2

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2 = |2 - 5|raiz2^2 + 2^2 + (-4)^2 = 3raiz4 + 4 + 16 = 3raiz24 = 32raiz6 = raiz64 cdot 3 = 3raiz64

Resposta

Os planos alpha e beta são paralelos e a distância entre eles é 3raiz64 unidades.

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