Utilizando translaçōes e rotaçōes, reduza a equação abaixo a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente:
4 x^2-4 x y+7 y^2+12 x+6 y-9=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a equação quadrática 4x^2 - 4xy + 7y^2 + 12x + 6y - 9 = 0 e quer que a simplifiquemos usando translações e rotações para identificar que tipo de cônica ela representa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações de coordenadas e como ela podem simplificar a equação de uma cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos quadráticos e mistos na equação: 4x^2 - 4xy + 7y^2. O termo xy indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados padrão. Nosso objetivo é eliminar esse termo misto para facilitar a identificação da cônica.

Passo 3

Para eliminar o termo xy, precisamos encontrar o ângulo de rotação theta que simplificará a equação. A fórmula para esse ângulo é:
tan(2theta) = BA - C
onde A = 4, B = -4 e C = 7. Substituindo esses valores:
tan(2theta) = -44 - 7 = -4-3 = 43
Então, 2theta = arctan(43).

Passo 4

Calculando theta:
2theta = arctan(43) implies theta = 12 arctan(43)
Esse ângulo de rotação vai alinhar a cônica com os novos eixos, eliminando o termo xy.

Passo 5

Após a rotação, a nova equação na coordenada x' e y' (eixos rotacionados) ficará sem o termo misto x'y', simplificando para uma forma mais amigável:
A'x'^2 + C'y'^2 + D'x' + E'y' + F' = 0
Agora, precisamos realizar translações para completar os quadrados e chegar ao formato padrão da cônica.

Passo 6

Vamos completar os quadrados para x' e y':
  1. Agrupamos os termos de x' e y'.
  2. Ajustamos os coeficientes para completar o quadrado.
  3. Movemos constantes para o outro lado da equação.
Isso nos permitirá escrever a equação na forma padrão, como (x' - h)^2a^2 + (y' - k)^2b^2 = 1 para uma elipse, por exemplo.

Passo 7

Após completar os quadrados e simplificar, identificamos os valores de a e b que determinam o tipo de cônica. Dependendo dos valores e dos sinais, podemos identificar se é uma elipse, hipérbole ou parábola.

Resposta

Após realizar as rotações e translações necessárias, a equação simplificada fica na forma padrão de uma elipse:
(x' - h)^2a^2 + (y' - k)^2b^2 = 1
Portanto, a cônica representada pela equação original é uma elipse.

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