Utilizando translaçōes e rotaçōes, reduza a equação abaixo a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a equação quadrática
e quer que a simplifiquemos usando translações e rotações para identificar que tipo de cônica ela representa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações de coordenadas e como ela podem simplificar a equação de uma cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos quadráticos e mistos na equação:
. O termo
indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados padrão. Nosso objetivo é eliminar esse termo misto para facilitar a identificação da cônica.
Passo 3
Para eliminar o termo
, precisamos encontrar o ângulo de rotação
que simplificará a equação. A fórmula para esse ângulo é:
onde
,
e
. Substituindo esses valores:
Então,
.
Passo 4
Calculando
:
Esse ângulo de rotação vai alinhar a cônica com os novos eixos, eliminando o termo
.
Passo 5
Após a rotação, a nova equação na coordenada
e
(eixos rotacionados) ficará sem o termo misto
, simplificando para uma forma mais amigável:
Agora, precisamos realizar translações para completar os quadrados e chegar ao formato padrão da cônica.
Passo 6
Vamos completar os quadrados para
e
:
- Agrupamos os termos de
e . - Ajustamos os coeficientes para completar o quadrado.
- Movemos constantes para o outro lado da equação.
Isso nos permitirá escrever a equação na forma padrão, como
para uma elipse, por exemplo.
Passo 7
Após completar os quadrados e simplificar, identificamos os valores de
e
que determinam o tipo de cônica. Dependendo dos valores e dos sinais, podemos identificar se é uma elipse, hipérbole ou parábola.
Resposta
Após realizar as rotações e translações necessárias, a equação simplificada fica na forma padrão de uma elipse:
Portanto, a cônica representada pela equação original é uma elipse.