Determine por definição se os vetores u=(2,-1,3), v=(4,1,2) e w=(8,-1,8) são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se os vetores u = (2, -1, 3) , v = (4, 1, 2) e w = (8, -1, 8) são linearmente independentes. Isso faz parte do estudo de álgebra linear, mais especificamente do tema independência linear. Para resolver isso, a gente precisa usar a definição de independência linear e montar um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhuma combinação linear dos vetores pode dar o vetor nulo a menos que todos os coeficientes sejam zero. Matemáticamente, isso é escrito assim:
a cdot u + b cdot v + c cdot w = (0, 0, 0)
Onde a , b e c são números reais. Nosso objetivo é descobrir se a única solução para a , b e c é a = b = c = 0 .

Passo 3

Vamos montar as equações a partir dos vetores dados. Substituindo os valores de u , v e w :
a(2) + b(4) + c(8) = 0 (1)
a(-1) + b(1) + c(-1) = 0 (2)
a(3) + b(2) + c(8) = 0 (3)
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss. Primeiro, vamos organizar as equações:
  1. 2a + 4b + 8c = 0
  2. -a + b - c = 0
  3. 3a + 2b + 8c = 0
Vamos começar eliminando uma das variáveis. Por exemplo, podemos tentar eliminar a .

Passo 5

Multiplicamos a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação de a :
-2a + 2b - 2c = 0 (2')
Agora, somamos a equação (1) com a equação (2’):
(2a + 4b + 8c) + (-2a + 2b - 2c) = 0 + 0
0a + 6b + 6c = 0
6b + 6c = 0 (4)

Passo 6

Simplificamos a equação (4) dividindo por 6:
b + c = 0 (5)
Isso nos dá uma relação entre b e c .

Passo 7

Agora, vamos usar a equação (5) na terceira equação original para eliminar b . Sabemos que b = -c . Substituindo na equação (3):
3a + 2(-c) + 8c = 0
3a - 2c + 8c = 0
3a + 6c = 0
3a = -6c
a = -2c

Passo 8

Agora temos a = -2c e b = -c . Vamos verificar se esses valores satisfazem todas as equações. Substituindo a e b na equação (2):
-(-2c) + (-c) - c = 0
2c - c - c = 0
0 = 0
Tudo confere! Isso significa que existe uma solução não trivial, onde c pode ser qualquer número real, e a e b são definidos em termos de c .

Resposta

Como encontramos uma solução onde a , b e c não são todos zero, os vetores u , v e w são linearmente dependentes.

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