Determine por definição se os vetores
e
são linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se os vetores
,
e
são linearmente independentes. Isso faz parte do estudo de álgebra linear, mais especificamente do tema independência linear. Para resolver isso, a gente precisa usar a definição de independência linear e montar um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhuma combinação linear dos vetores pode dar o vetor nulo a menos que todos os coeficientes sejam zero. Matemáticamente, isso é escrito assim:
Onde
,
e
são números reais. Nosso objetivo é descobrir se a única solução para
,
e
é
.
Passo 3
Vamos montar as equações a partir dos vetores dados. Substituindo os valores de
,
e
:
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss. Primeiro, vamos organizar as equações:
Vamos começar eliminando uma das variáveis. Por exemplo, podemos tentar eliminar
.
Passo 5
Multiplicamos a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação de
:
Agora, somamos a equação (1) com a equação (2’):
Passo 6
Simplificamos a equação (4) dividindo por 6:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 7
Agora, vamos usar a equação (5) na terceira equação original para eliminar
. Sabemos que
. Substituindo na equação (3):
Passo 8
Agora temos
e
. Vamos verificar se esses valores satisfazem todas as equações. Substituindo
e
na equação (2):
Tudo confere! Isso significa que existe uma solução não trivial, onde
pode ser qualquer número real, e
e
são definidos em termos de
.
Resposta
Como encontramos uma solução onde
,
e
não são todos zero, os vetores
,
e
são linearmente dependentes.