Em cada item, são dados o conjunto e a operação, verifique se ela é associativa, comutativa, tem elemento neutro e no caso de ter neutro, calcule quais elementos tem simétrico.
Em
(racionais sem o zero),
(divisão usual).
Em
Passo 1
O enunciado pede para o conjunto
(racionais não nulos) com a operação
verificar se * é associativa, comutativa, se existe elemento neutro e, caso exista, quais elementos têm simétrico.
Passo 2
Associatividade requer
Calculando cada lado:
Como em geral
, * não é associativa.
Passo 3
Comutatividade exige
, isto é,
Em geral
(salvo casos especiais), então * não é comutativa.
Passo 4
Elemento neutro
deve satisfazer para todo
:
Da primeira condiçã o
Da segunda
que não é independente de
. Logo não existe identidade bilateral em
.
Passo 5
Sem elemento neutro bilateral não podemos definir inversos (simétricos) de maneira global.
Resposta
Associativa: não
Comutativa: não
Elemento neutro: não existe
Simétricos: não aplicável (pois não há neutro)
Comutativa: não
Elemento neutro: não existe
Simétricos: não aplicável (pois não há neutro)