Em cada item, são dados o conjunto e a operação, verifique se ela é associativa, comutativa, tem elemento neutro e no caso de ter neutro, calcule quais elementos tem simétrico.
Em Q^* (racionais sem o zero), a * b=ab (divisão usual).

Passo 1

O enunciado pede para o conjunto Q^* (racionais não nulos) com a operação
a * b = ab
verificar se * é associativa, comutativa, se existe elemento neutro e, caso exista, quais elementos têm simétrico.

Passo 2

Associatividade requer
(a * b) * c = a * (b * c)
Calculando cada lado:
(a * b) * c = l(tfracabr) * c = tfracabc = ab,c,
a * (b * c) = a * l(tfracbcr) = a,tfracbc, = a,cb
Como em geral
tfracab,cneq tfraca,cb, * não é associativa.

Passo 3

Comutatividade exige a * b = b * a, isto é,
ab stackrel?= ba
Em geral tfracabneqtfracba (salvo casos especiais), então * não é comutativa.

Passo 4

Elemento neutro e deve satisfazer para todo ainQ^*:
a * e = a e e * a = a
Da primeira condiçã o
ae=a implies e=1
Da segunda
ea=a implies e=a^2,
que não é independente de a. Logo não existe identidade bilateral em Q^*.

Passo 5

Sem elemento neutro bilateral não podemos definir inversos (simétricos) de maneira global.

Resposta

Associativa: não
Comutativa: não
Elemento neutro: não existe
Simétricos: não aplicável (pois não há neutro)

Exercícios relacionados