Determine o(s) valor(es) de m in R de modo que os pares de vetores abaixo sejam ortogonais entre si.
u=(m+1,1,2)E e v=(m-1,-4,-2)E.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de m que fazem com que os vetores u = (m+1, 1, 2) e v = (m-1, -4, -2) sejam ortogonais. Ortogonais, no caso dos vetores, significa que eles são perpendiculares entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como verificar se dois vetores são ortogonais. A regra é simples: o produto escalar (ou produto interno) dos dois vetores precisa ser igual a zero. O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando tudo.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de u e v :
u cdot v = (m+1)(m-1) + (1)(-4) + (2)(-2)

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. (m+1)(m-1) = m^2 - 1 (usando a fórmula da diferença de quadrados)
  2. 1 times -4 = -4
  3. 2 times -2 = -4
Então, substituindo na expressão:
u cdot v = m^2 - 1 - 4 - 4

Passo 5

Simplificando a expressão:
u cdot v = m^2 - 9

Passo 6

Como queremos que os vetores sejam ortogonais, estabelecemos que o produto escalar deve ser zero:
m^2 - 9 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação:
m^2 = 9 m = raiz9 m = 3 ou m = -3

Resposta

Os valores de m que tornam os vetores ortogonais são m = 3 e m = -3 .

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