Determine o(s) valor(es) de
de modo que os pares de vetores abaixo sejam ortogonais entre si.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
que fazem com que os vetores
e
sejam ortogonais. Ortogonais, no caso dos vetores, significa que eles são perpendiculares entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como verificar se dois vetores são ortogonais. A regra é simples: o produto escalar (ou produto interno) dos dois vetores precisa ser igual a zero. O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando tudo.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar de
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte:
-
(usando a fórmula da diferença de quadrados) -
-
Então, substituindo na expressão:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Como queremos que os vetores sejam ortogonais, estabelecemos que o produto escalar deve ser zero:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Resposta
Os valores de
que tornam os vetores ortogonais são
e
.