Determine o(s) valor(es) de m in R de modo que os pares de vetores abaixo sejam ortogonais entre si.
u=(m, m, 4)E e v=(4, m, 1)E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de m que fazem com que os vetores u = (m, m, 4) e v = (4, m, 1) sejam ortogonais entre si. Isso está relacionado ao estudo de vetores e ortogonalidade na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como calcular o produto escalar entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Um vetor é uma entidade matemática que tem magnitude (tamanho) e direção. No nosso caso, u e v são vetores no espaço tridimensional, já que têm três componentes cada.
Agora, ortogonalidade entre vetores significa que eles são perpendiculares um ao outro. Para dois vetores serem ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v. O produto escalar de dois vetores (a, b, c) e (d, e, f) é calculado assim:
u cdot v = a cdot d + b cdot e + c cdot f
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot v = m cdot 4 + m cdot m + 4 cdot 1
Simplificando:
u cdot v = 4m + m^2 + 4

Passo 4

Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero. Então, temos a equação:
4m + m^2 + 4 = 0
Vamos reorganizar os termos:
m^2 + 4m + 4 = 0

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de m . A equação é:
m^2 + 4m + 4 = 0
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação do tipo ax^2 + bx + c = 0 , as soluções são:
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Identificando os coeficientes:
a = 1, b = 4, c = 4
Substituindo na fórmula:
m = -4 pm raiz4^2 - 4 cdot 1 cdot 42 cdot 1 = -4 pm raiz16 - 162 = -4 pm raiz02
Como a raiz quadrada de zero é zero:
m = -42 = -2

Resposta

O valor de m que torna os vetores u e v ortogonais é m = -2 .

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