Determine o(s) valor(es) de
de modo que os pares de vetores abaixo sejam ortogonais entre si.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de
que fazem com que os vetores
e
sejam ortogonais entre si. Isso está relacionado ao estudo de vetores e ortogonalidade na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como calcular o produto escalar entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Um vetor é uma entidade matemática que tem magnitude (tamanho) e direção. No nosso caso,
e
são vetores no espaço tridimensional, já que têm três componentes cada.
Agora, ortogonalidade entre vetores significa que eles são perpendiculares um ao outro. Para dois vetores serem ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar dos vetores
e
. O produto escalar de dois vetores
e
é calculado assim:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
Passo 4
Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero. Então, temos a equação:
Vamos reorganizar os termos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A equação é:
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação do tipo
, as soluções são:
Identificando os coeficientes:
Substituindo na fórmula:
Como a raiz quadrada de zero é zero:
Resposta
O valor de
que torna os vetores
e
ortogonais é
.