Determine o(s) valor(es) de m in R de modo que os pares de vetores abaixo sejam ortogonais entre si.
u=(m, 0,5)E e v=(2, m, 4)E.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de m para que os vetores u = (m, 0, 5) e v = (2, m, 4) sejam ortogonais. Estamos trabalhando com vetores no espaço euclidiano e vamos usar o conceito de produto interno (ou produto escalar) para descobrir os valores de m .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar de u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é calculado assim:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v usando as coordenadas dadas:
u cdot v = m cdot 2 + 0 cdot m + 5 cdot 4
Simplificando:
u cdot v = 2m + 0 + 20 = 2m + 20

Passo 4

Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser igual a zero:
2m + 20 = 0
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar m .

Passo 5

Resolvendo a equação:
2m + 20 = 0 2m = -20 m = -202 m = -10

Resposta

O valor de m que torna os vetores u e v ortogonais é m = -10 .

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