Determine o(s) valor(es) de
de modo que os pares de vetores abaixo sejam ortogonais entre si.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
para que os vetores
e
sejam ortogonais. Estamos trabalhando com vetores no espaço euclidiano e vamos usar o conceito de produto interno (ou produto escalar) para descobrir os valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar de
e
é calculado assim:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar dos vetores
e
usando as coordenadas dadas:
Simplificando:
Passo 4
Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser igual a zero:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 5
Resolvendo a equação:
Resposta
O valor de
que torna os vetores
e
ortogonais é
.