Em cada item, são dados o conjunto e a operação, verifique se ela é associativa, comutativa, tem elemento neutro e no caso de ter neutro, calcule quais elementos tem simétrico.
E m C (números complexos), (a+b i) *(c+d i)=(a c-b d)+(a d+c b) i

Passo 1

O enunciado pede para verificar, no conjunto dos números complexos C com a operação
(a+bi)*(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc),i,
se essa operação é associativa, comutativa, se existe elemento neutro e, caso exista, quais elementos têm inverso. O conteúdo aqui é estudar as propriedades de uma operação interna (semelhante a grupo abeliano multiplicativo, exceto pelo zero).

Passo 2

Para testar associatividade, note que a definição dada é justamente a multiplicação usual de complexos. Como essa multiplicação se reduz a somas e produtos de números reais, e as operações em R são associativas, concluímos que para quaisquer
z1,z2,z3inC
vale
(z1 * z2) * z3 ;=; z1 * (z2 * z3)
Logo, é associativa.

Passo 3

Análogo ao caso anterior, a multiplicação de números reais é comutativa. Dessa forma, ao trocar os fatores na definição
(a+bi)*(c+di)
obtém-se o mesmo resultado de
(c+di)*(a+bi)
Portanto, a operação é comutativa.

Passo 4

Procuramos um elemento neutro
Pelo cálculo
temos o sistema real
Esse sistema é satisfeito por , ou seja,

Passo 5

Para encontrar o inverso de
o que dá o sistema
Desde que ), a solução é
Assim, todo número complexo não nulo tem inverso dado por

Resposta

Associativa: sim.
Comutativa: sim.
Elemento neutro: 1+0,i.
Inverso existe para todos os a+bineq0, sendo
(a+bi)^-1 = aa^2+b^2 - ba^2+b^2,i

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