Em cada item, são dados o conjunto e a operação, verifique se ela é associativa, comutativa, tem elemento neutro e no caso de ter neutro, calcule quais elementos tem simétrico.
(números complexos),
Passo 1
O enunciado pede para verificar, no conjunto dos números complexos
com a operação
se essa operação é associativa, comutativa, se existe elemento neutro e, caso exista, quais elementos têm inverso. O conteúdo aqui é estudar as propriedades de uma operação interna (semelhante a grupo abeliano multiplicativo, exceto pelo zero).
Passo 2
Para testar associatividade, note que a definição dada é justamente a multiplicação usual de complexos. Como essa multiplicação se reduz a somas e produtos de números reais, e as operações em
são associativas, concluímos que para quaisquer
vale
Logo, é associativa.
Passo 3
Análogo ao caso anterior, a multiplicação de números reais é comutativa. Dessa forma, ao trocar os fatores na definição
obtém-se o mesmo resultado de
Portanto, a operação é comutativa.
Passo 4
Procuramos um elemento neutro
Pelo cálculo
temos o sistema real
Esse sistema é satisfeito por , ou seja,
Passo 5
Para encontrar o inverso de
o que dá o sistema
Desde que ), a solução é
Assim, todo número complexo não nulo tem inverso dado por
Resposta
Associativa: sim.
Comutativa: sim.
Elemento neutro: .
Inverso existe para todos os , sendo
Comutativa: sim.
Elemento neutro:
Inverso existe para todos os