Em cada item, são dados o conjunto e a operação, verifique se ela é associativa, comutativa, tem elemento neutro e no caso de ter neutro, calcule quais elementos tem simétrico.
Em A=0,1, onde 0 * 0=0 * 1=1 * 0=0 e 1 * 1=1;

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A = 0,1 com a operação binária * definida por
0*0 = 0, 0*1 = 0, 1*0 = 0, 1*1 = 1
O que vamos verificar são as propriedades de associativa, comutativa, existência de elemento neutro e, no caso de haver neutro, os inversos (simétricos) dos elementos em relação a esse neutro.

Passo 2

Para verificar a associatividade precisamos checar se vale
x*(y*z) = (x*y)*z
para todos x,y,zin A. Note que * coincide com a operação lógica “E” em 0,1: o resultado é 1 só quando todos os fatores são 1; caso contrário é 0. Assim, tanto x*(y*z) quanto (x*y)*z só serão 1 se x=y=z=1, e serão 0 em qualquer outra combinação. Logo a igualdade vale em todos os casos, e * é associativa.

Passo 3

Para a comutatividade basta ver que o valor de x*y não depende da ordem: da tabela,
0*1 = 0 = 1*0, 0*0 = 0, 1*1 = 1
Como x*y = y*x para todos os pares (x,y), a operação é comutativa.

Passo 4

Procuramos ein A tal que
e*x = x e x*e = x
para todo xin A. Testando e=0 vem 0*1=0neq1, logo 0 não serve. Testando e=1 temos
1*0=0,;0*1=0,;1*1=1,
isto é, 1*x = x e x*1 = x para x=0,1. Assim, 1 é o elemento neutro.

Passo 5

Dado o neutro e=1, buscamos para cada xin A um yin A tal que
x*y = 1 e y*x = 1
  • Para x=0 não existe y porque 0*y=0 sempre.
  • Para x=1 temos 1*1=1 e 1*1=1, de modo que o inverso de 1 é ele mesmo.

Resposta

A operação é associativa e comutativa. O elemento neutro é 1. O único elemento que possui simétrico é 1, cujo inverso é 1.

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