Em cada item, são dados o conjunto e a operação, verifique se ela é associativa, comutativa, tem elemento neutro e no caso de ter neutro, calcule quais elementos tem simétrico.
, onde
e
;
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com a operação binária
definida por
O que vamos verificar são as propriedades de associativa, comutativa, existência de elemento neutro e, no caso de haver neutro, os inversos (simétricos) dos elementos em relação a esse neutro.
Passo 2
Para verificar a associatividade precisamos checar se vale
para todos
. Note que
coincide com a operação lógica “E” em
: o resultado é
só quando todos os fatores são
; caso contrário é
. Assim, tanto
quanto
só serão
se
, e serão
em qualquer outra combinação. Logo a igualdade vale em todos os casos, e
é associativa.
Passo 3
Para a comutatividade basta ver que o valor de
não depende da ordem: da tabela,
Como
para todos os pares
, a operação é comutativa.
Passo 4
Procuramos
tal que
para todo
. Testando
vem
, logo
não serve. Testando
temos
isto é,
e
para
. Assim,
é o elemento neutro.
Passo 5
Dado o neutro
, buscamos para cada
um
tal que
- Para
não existe porque sempre. - Para
temos e , de modo que o inverso de é ele mesmo.
Resposta
A operação é associativa e comutativa. O elemento neutro é
. O único elemento que possui simétrico é
, cujo inverso é
.