Determine se
o sistema homogêneo tem soluções não triviais.
o sistema homogêneo tem soluções não triviais.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para determinar se um sistema homogêneo possui soluções não triviais. Isso envolve álgebra linear, especificamente o estudo de sistemas de equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de sistemas homogêneos e soluções não triviais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema homogêneo. Um sistema de equações é chamado homogêneo quando todos os termos constantes são iguais a zero. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, uma solução trivial é aquela onde todas as variáveis são iguais a zero, ou seja,
. Soluções não triviais são aquelas onde pelo menos uma das variáveis é diferente de zero.
Passo 4
Para saber se o sistema possui soluções não triviais, vamos analisar o número de equações e o número de incógnitas. Aqui temos 2 equações e 3 incógnitas. Geralmente, se o número de incógnitas é maior que o número de equações, existe pelo menos uma solução não trivial.
Passo 5
Intuitivamente, com mais incógnitas do que equações, temos “mais variáveis para ajustar”, o que geralmente leva a múltiplas soluções além da trivial. No nosso caso, com 3 variáveis e apenas 2 equações, podemos ajustar uma variável livremente, garantindo soluções não triviais.
Passo 6
Matematicamente, isso está relacionado ao posto da matriz do sistema. Se o posto for menor que o número de incógnitas, existem soluções não triviais. Aqui, a matriz dos coeficientes é
, então o posto máximo é 2, que é menor que 3. Portanto, há soluções não triviais.
Resposta
Sim, o sistema homogêneo possui soluções não triviais.