Em cada item, são dados o conjunto e a operação, verifique se ela é associativa, comutativa, tem elemento neutro e no caso de ter neutro, calcule quais elementos tem simétrico.
Em
, onde
;
Em
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com a operação interna
definida por
Precisamos verificar se
é associativa, comutativa, se existe elemento neutro e, caso exista, encontrar o inverso (simétrico) de cada elemento.
Passo 2
Para testar a comutatividade, comparamos
e
para todo
. Da tabela:
e
e
e
Como sempre , concluímos que
é comutativa.
Como sempre
Passo 3
Para verificar associatividade, observamos que
é justamente a soma módulo 2 (xor), a qual é conhecida por ser associativa. Alternativamente, podemos checar todos os casos de
e
para
, encontrando sempre igualdade. Logo,
é associativa.
Passo 4
Procuramos
tal que
e
para todo
. Testando
:
e
satisfazendo ambos. Para
falha em
.
Portanto, o elemento neutro é .
Portanto, o elemento neutro é
Passo 5
O inverso de
é
tal que
. Da tabela:
, logo o inverso de
é
.
, logo o inverso de
é
.
Resposta
O elemento neutro é
Os inversos são