Em cada item, são dados o conjunto e a operação, verifique se ela é associativa, comutativa, tem elemento neutro e no caso de ter neutro, calcule quais elementos tem simétrico.
Em A=0,1, onde 0 * 0=1 * 1=0,0 * 1=1 * 0=1;

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=0,1 com a operação interna * definida por
0*0 = 0, 1*1 = 0, 0*1 = 1, 1*0 = 1
Precisamos verificar se * é associativa, comutativa, se existe elemento neutro e, caso exista, encontrar o inverso (simétrico) de cada elemento.

Passo 2

Para testar a comutatividade, comparamos a*b e b*a para todo a,bin A. Da tabela:
,0*1=1 e ,1*0=1,
,0*0=0 e ,0*0=0,
,1*1=0 e ,1*1=0
Como sempre a*b = b*a, concluímos que * é comutativa.

Passo 3

Para verificar associatividade, observamos que * é justamente a soma módulo 2 (xor), a qual é conhecida por ser associativa. Alternativamente, podemos checar todos os casos de (a*b)*c e a*(b*c) para a,b,cin0,1, encontrando sempre igualdade. Logo, * é associativa.

Passo 4

Procuramos ein A tal que a*e = a e e*a = a para todo a. Testando e=0:
,0*0=0 e ,1*0=1, satisfazendo ambos. Para e=1 falha em 0*1neq0.
Portanto, o elemento neutro é 0.

Passo 5

O inverso de a é a' tal que a*a'=0. Da tabela:
,0*0=0, logo o inverso de 0 é 0.
,1*1=0, logo o inverso de 1 é 1.

Resposta

,* é associativa e comutativa.
O elemento neutro é 0.
Os inversos são 0^-1=0 e 1^-1=1.

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