Sejam
u=(1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)E, v=(-2raiz6, 1raiz6, 1raiz6)E, w=(0,-1raiz2, 1raiz2)E
Prove que F=(u, v, w) é uma base ortonormal de V^3.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3 (ou V^3) expressos na base canônica E:
vec u=l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r), vec v=l(-tfrac2raiz6,tfrac1raiz6,tfrac1raiz6r), vec w=l(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)
Queremos provar que F=(vec u,vec v,vec w) é uma base ortonormal de R^3. Para isso usamos a definição de produto interno canônico (produto escalar), norma associada e as propriedades de ortonormalidade.

Passo 2

Mostramos que cada vetor tem norma igual a 1. Lembrando que para vec x=(x1,x2,x3) temos |vec x|^2=x1^2+x2^2+x3^2,
|vec u|^2 =l(tfrac1raiz3r)^2+l(tfrac1raiz3r)^2+l(tfrac1raiz3r)^2 =3cdottfrac13=1,
|vec v|^2 =l(-tfrac2raiz6r)^2+l(tfrac1raiz6r)^2+l(tfrac1raiz6r)^2 =tfrac46+tfrac16+tfrac16 =1,
|vec w|^2 =0^2+l(-tfrac1raiz2r)^2+l(tfrac1raiz2r)^2 =0+tfrac12+tfrac12 =1

Passo 3

Verificamos que os vetores são mutuamente ortogonais, ou seja, seus produtos escalares são zero. Para vec x=(x1,x2,x3) e vec y=(y1,y2,y3) temos lang<=vec x,vec yrang<==x1y1+x2y2+x3y3.
lang<=vec u,vec vrang<= =tfrac1raiz3l(-tfrac2raiz6r) +tfrac1raiz3cdottfrac1raiz6 +tfrac1raiz3cdottfrac1raiz6 =-2+1+1raiz18=0,
lang<=vec u,vec wrang<= =tfrac1raiz3cdot0 +tfrac1raiz3l(-tfrac1raiz2r) +tfrac1raiz3cdottfrac1raiz2 =-1+1raiz6=0,
lang<=vec v,vec wrang<= =l(-tfrac2raiz6r)cdot0 +tfrac1raiz6l(-tfrac1raiz2r) +tfrac1raiz6cdottfrac1raiz2 =-1+1raiz12=0

Passo 4

Como |vec u|=|vec v|=|vec w|=1 e todos os produtos escalares entre vetores distintos são zero, o conjunto vec u,vec v,vec w é ortonormal. Em R^3, qualquer conjunto ortonormal de três vetores é necessariamente uma base, pois consiste em três vetores linearmente independentes — igual à dimensão do espaço.

Resposta

F=(vec u,vec v,vec w) é uma base ortonormal de V^3.

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