Sejam
Prove que
é uma base ortonormal de
.
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores em
(ou
) expressos na base canônica
:
Queremos provar que
é uma base ortonormal de
. Para isso usamos a definição de produto interno canônico (produto escalar), norma associada e as propriedades de ortonormalidade.
Passo 2
Mostramos que cada vetor tem norma igual a
. Lembrando que para
temos
,
Passo 3
Verificamos que os vetores são mutuamente ortogonais, ou seja, seus produtos escalares são zero. Para
e
temos
.
Passo 4
Como
e todos os produtos escalares entre vetores distintos são zero, o conjunto
é ortonormal. Em
, qualquer conjunto ortonormal de três vetores é necessariamente uma base, pois consiste em três vetores linearmente independentes — igual à dimensão do espaço.