Resolva o seguinte sistema de equações não lineares para x, y
e z.
x^2+y^2+z^2 & =6 x^2-y^2+2 z^2 & =2 2 x^2+y^2-z^2 & =3
[Sugestão: comece com as substituições X=x^2, Y=y^2,
Z=z^2.]

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema não linear
x^2+y^2+z^2=6, x^2-y^2+2z^2=2, 2x^2+y^2-z^2=3,
em que aparecem somente quadrados de x,y,z. Vamos usar a dica de substituir
X = x^2, Y = y^2, Z = z^2,
reduzindo o problema a um sistema linear em X,Y,Z.

Passo 2

Fazendo a troca X=x^2, Y=y^2, Z=z^2, obtemos o sistema
X + Y + Z = 6, X - Y + 2Z = 2, 2X + Y - Z = 3

Passo 3

Para resolver esse sistema linear, eliminamos variáveis:
  1. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(X - Y + 2Z) - (X + Y + Z) = 2 - 6 ;Rightarrow;-2Y + Z = -4
  1. Subtraindo a primeira equação da terceira:
(2X + Y - Z) - (X + Y + Z) = 3 - 6 ;Rightarrow;X - 2Z = -3
  1. Somando a primeira e a segunda equação originais:
(X + Y + Z) + (X - Y + 2Z) = 6 + 2 ;Rightarrow;2X + 3Z = 8

Passo 4

Agora resolvemos o sistema reduzido
-2Y + Z = -4, X - 2Z = -3, 2X + 3Z = 8
Da segunda equação vem X = 2Z -3. Substituindo em 2X + 3Z = 8:
2(2Z-3) + 3Z = 8 ;Rightarrow;4Z -6 +3Z =8 ;Rightarrow;7Z =14 ;Rightarrow;Z = 2
Então X = 2cdot2 -3 =1. Finalmente, de -2Y + Z = -4 temos
-2Y + 2 = -4 ;Rightarrow;-2Y = -6 ;Rightarrow;Y = 3

Passo 5

Voltando às variáveis originais:
x^2=X=1, y^2=Y=3, z^2=Z=2
Cada uma dá duas soluções de sinal independente, logo
x=pm1, y=pmraiz3, z=pmraiz2

Resposta

As soluções são
(x,y,z) = (pm1,;pmraiz3,;pmraiz2),
com sinais escolhidos de forma independente.

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