Seja
[ccc|c a & 0 & b & 2 a & a & 4 & 4 0 & a & 2 & b ]
a matriz aumentada de um sistema linear. Encontre os valores de a e b com os quais o sistema tem
a) Uma única solução.
b) Uma solução com uma variável livre.
c) Uma solução com duas variáveis livres.
d) Nenhuma solução.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada de um sistema linear 3times 3
[ccc|c a & 0 & b & 2 a & a & 4 & 4 0 & a & 2 & b ]
e pede para determinar, em função de a e b, quando o sistema tem (a) solução única, (b) solução com uma variável livre, (c) solução com duas variáveis livres e (d) nenhuma solução.
Para isso vamos usar a teoria de postos: comparar o posto da matriz de coeficientes A com o posto da matriz aumentada [Amidb].

Passo 2

Calculemos o determinante de A para saber quando A é invertível (posto máximo 3).
det(A) = a & 0 & b a & a & 4 0 & a & 2 =a,(acdot2-4cdot a)+b,(acdot a-0cdot a) =-2a^2+a^2b =a^2(b-2)

Passo 3

Se det(A)neq0, isto é,
a^2(b-2)neq0Long<=ftrightarrow aneq0;e;bneq2,
então A é invertível, o posto de A e de [Amid b] vale 3, e o sistema tem exatamente uma solução.

Passo 4

Agora o caso det(A)=0. Há duas possibilidades:
1) b=2 com aneq0.
2) a=0 (qualquer b).
Primeiro tratemos de b=2 e aneq0.
Neste caso det(A)=0 implica posto ,(A)=2 (há um menor 2times2 não nulo), e substituindo b=2 na parte aumentada vemos que as três equações são compatíveis e o posto de [Amid b] também é 2.
Logo há infinitas soluções com número de variáveis livres
3-posto(A)=3-2=1

Passo 5

Falta o caso
cujo posto é (as linhas são múltiplas de ).
Na matriz aumentada as equações viram
Da segunda eq. vem .
  • Se , então posto e posto , gerando
variáveis livres (infinitas soluções de dimensão ).
  • Se , daí as equações entram em contradição e o posto de sobe para , maior que o de . Logo não há nenhuma solução.

Resposta

a) Uma única solução: ;aneq0 e bneq2
b) Solução com uma variável livre: ;aneq0 e b=2
c) Solução com duas variáveis livres: ;a=0 e b=2
d) Nenhuma solução: ;a=0 e bneq2

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