Para cada um dos sistemas a seguir: represente na forma matricial, escalone, classifique e caracterize a sua representação geométrica (relação entre os planos e possível interseção).
rrr x+2 y+3 z=4 & 2 x-y+5 z=3 & 6 x-4 y+12 z=2 2 x+3 y+4 z=5 & 4 x-2 y+10 z=5 & 9 x-6 y+18 z=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou dois sistemas de equações com três variáveis cada. Nosso objetivo aqui é:
  1. Representar cada sistema na forma matricial.
  2. Escalonar as matrizes para facilitar a resolução.
  3. Classificar cada sistema com base nas soluções que ele possui.
  4. Caracterizar a representação geométrica dessas soluções, ou seja, como os planos se relacionam no espaço.
Vamos resolver cada sistema passo a passo.

Sistema 1:

x + 2y + 3z = 4 2x - y + 5z = 3 6x -4y +12z = 2

Passo 2

Representação Matricial
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita o escalonamento.
1 & 2 & 3 & | & 4 2 & -1 & 5 & | & 3 6 & -4 & 12 & | & 2
Aqui, as primeiras três colunas representam os coeficientes das variáveis x, y e z, e a última coluna são os termos constantes das equações.

Passo 3

Escalonamento da Matriz
Vamos usar operações elementares de linha para transformar essa matriz em uma forma escalonada, facilitando a resolução.
  1. Pivô na primeira linha e primeira coluna já está 1, então vamos zerar os elementos abaixo dele.
  2. Para zerar o 2 da segunda linha, primeira coluna:
    • R2 = R2 - 2 times R1
  3. Para zerar o 6 da terceira linha, primeira coluna:
    • R3 = R3 - 6 times R1
Aplicando as operações:
1 & 2 & 3 & | & 4 0 & -5 & -1 & | & -5 0 & -16 & -6 & | & -22

Passo 4

Continuando o escalonamento:
  1. Pivô na segunda linha e segunda coluna é -5. Vamos usar ele para zerar o elemento abaixo.
  2. Para zerar o -16 da terceira linha, segunda coluna:
    • R3 = R3 - 165 times R2
Aplicando:
1 & 2 & 3 & | & 4 0 & -5 & -1 & | & -5 0 & 0 & -145 & | & -25

Passo 5

Classificação do Sistema
Agora que temos a matriz escalonada, podemos analisar:
  • Número de soluções:
    • Todas as variáveis têm pivôs, indicando que o sistema possui uma única solução.
  • Caracterização Geométrica:
    • Três planos que se interceptam em um único ponto.

Passo 6

Resolvendo as Equações
Vamos voltar para as equações correspondentes à matriz escalonada:
  1. x + 2y + 3z = 4 \
  2. -5y - z = -5 \
  3. -145z = -25
Resolvendo a terceira equação para z :
- 145z = -25 Rightarrow z = -25-145 = 214 = 17
Substituindo z = 17 na segunda equação:
-5y - 17 = -5 Rightarrow -5y = -5 + 17 = -347 Rightarrow y = 3435
Agora, substituindo y = 3435 e z = 17 na primeira equação:
x + 2 times 3435 + 3 times 17 = 4 x + 6835 + 37 = 4 x + 6835 + 1535 = 4 x + 8335 = 4 x = 4 - 8335 = 14035 - 8335 = 5735

Passo 7

Resposta Final do Sistema 1
A solução única desse sistema é:
x = 5735, y = 3435, z = 17
Os três planos se interceptam exatamente nesse ponto no espaço tridimensional.

Sistema 2:

2x + 3y +4z =5 4x -2y +10z =5 9x -6y +18z =3

Passo 8

Representação Matricial
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:
2 & 3 & 4 & | & 5 4 & -2 & 10 & | & 5 9 & -6 & 18 & | & 3

Passo 9

Escalonamento da Matriz
Vamos transformar essa matriz em forma escalonada.
  1. Primeiro pivô: 2 na primeira linha e primeira coluna.
  2. Vamos zerar os elementos abaixo dele:
    • R2 = R2 - 2 times R1
    • R3 = R3 - 92 times R1
Aplicando as operações:
2 & 3 & 4 & | & 5 0 & -8 & 2 & | & -5 0 & -212 & 0 & | & -272

Passo 10

Continuando o escalonamento:
  1. Segundo pivô: -8 na segunda linha e segunda coluna.
  2. Vamos zerar o elemento abaixo dele:
    • R3 = R3 - 2116 times R2
Aplicando:
2 & 3 & 4 & | & 5 0 & -8 & 2 & | & -5 0 & 0 & 218 & | & -518

Passo 11

Classificação do Sistema
Analisando a matriz escalonada:
  • Número de soluções:
    • Todas as variáveis têm pivôs, indicando que o sistema possui uma única solução.
  • Caracterização Geométrica:
    • Três planos que se intersectam em um único ponto.

Passo 12

Resolvendo as Equações
Voltando para as equações escalonadas:
  1. 2x + 3y + 4z = 5 \
  2. -8y + 2z = -5 \
  3. 218z = -518
Resolvendo a terceira equação para z :
218z = -518 Rightarrow z = -518218 = -5121 = -177
Substituindo z = -177 na segunda equação:
-8y + 2 times (-177) = -5 -8y - 347 = -5 -8y = -5 + 347 = -357 + 347 = -17 y = 156
Agora, substituindo y = 156 e z = -177 na primeira equação:
2x + 3 times 156 + 4 times (-177) = 5 2x + 356 - 687 = 5 2x + 356 - 54456 = 5 2x - 54156 = 5 2x = 5 + 54156 = 28056 + 54156 = 82156 x = 821112

Passo 13

Resposta Final do Sistema 2
A solução única desse sistema é:
x = 821112, y = 156, z = -177
Os três planos desse sistema também se intersectam em apenas um ponto no espaço tridimensional.

Resposta

Sistema 1:
x = 5735, y = 3435, z = 17
Sistema 2:
x = 821112, y = 156, z = -177
Em ambos os sistemas, os três planos se intersectam em pontos únicos no espaço.

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