Para cada um dos sistemas a seguir: represente na forma matricial, escalone, classifique e caracterize a sua representação geométrica (relação entre os planos e possível interseção).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou dois sistemas de equações com três variáveis cada. Nosso objetivo aqui é:
- Representar cada sistema na forma matricial.
- Escalonar as matrizes para facilitar a resolução.
- Classificar cada sistema com base nas soluções que ele possui.
- Caracterizar a representação geométrica dessas soluções, ou seja, como os planos se relacionam no espaço.
Vamos resolver cada sistema passo a passo.
Sistema 1:
Passo 2
Representação Matricial
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita o escalonamento.
Aqui, as primeiras três colunas representam os coeficientes das variáveis
x ,
y e
z , e a última coluna são os termos constantes das equações.
Passo 3
Escalonamento da Matriz
Vamos usar operações elementares de linha para transformar essa matriz em uma forma escalonada, facilitando a resolução.
- Pivô na primeira linha e primeira coluna já está 1, então vamos zerar os elementos abaixo dele.
- Para zerar o 2 da segunda linha, primeira coluna:
-
R2 = R2 - 2 times R1
-
- Para zerar o 6 da terceira linha, primeira coluna:
-
R3 = R3 - 6 times R1
-
Aplicando as operações:
Passo 4
Continuando o escalonamento:
- Pivô na segunda linha e segunda coluna é -5. Vamos usar ele para zerar o elemento abaixo.
- Para zerar o -16 da terceira linha, segunda coluna:
-
R3 = R3 - 165 times R2
-
Aplicando:
Passo 5
Classificação do Sistema
Agora que temos a matriz escalonada, podemos analisar:
-
Número de soluções:
- Todas as variáveis têm pivôs, indicando que o sistema possui uma única solução.
-
Caracterização Geométrica:
- Três planos que se interceptam em um único ponto.
Passo 6
Resolvendo as Equações
Vamos voltar para as equações correspondentes à matriz escalonada:
-
\x + 2y + 3z = 4 -
\-5y - z = -5 -
-145z = -25
Resolvendo a terceira equação para
z :
Substituindo
z = 17 na segunda equação:
Agora, substituindo
y = 3435 e
z = 17 na primeira equação:
Passo 7
Resposta Final do Sistema 1
A solução única desse sistema é:
Os três planos se interceptam exatamente nesse ponto no espaço tridimensional.
Sistema 2:
Passo 8
Representação Matricial
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:
Passo 9
Escalonamento da Matriz
Vamos transformar essa matriz em forma escalonada.
- Primeiro pivô: 2 na primeira linha e primeira coluna.
- Vamos zerar os elementos abaixo dele:
-
R2 = R2 - 2 times R1 -
R3 = R3 - 92 times R1
-
Aplicando as operações:
Passo 10
Continuando o escalonamento:
- Segundo pivô: -8 na segunda linha e segunda coluna.
- Vamos zerar o elemento abaixo dele:
-
R3 = R3 - 2116 times R2
-
Aplicando:
Passo 11
Classificação do Sistema
Analisando a matriz escalonada:
-
Número de soluções:
- Todas as variáveis têm pivôs, indicando que o sistema possui uma única solução.
-
Caracterização Geométrica:
- Três planos que se intersectam em um único ponto.
Passo 12
Resolvendo as Equações
Voltando para as equações escalonadas:
-
\2x + 3y + 4z = 5 -
\-8y + 2z = -5 -
218z = -518
Resolvendo a terceira equação para
z :
Substituindo
z = -177 na segunda equação:
Agora, substituindo
y = 156 e
z = -177 na primeira equação:
Passo 13
Resposta Final do Sistema 2
A solução única desse sistema é:
Os três planos desse sistema também se intersectam em apenas um ponto no espaço tridimensional.
Resposta
Sistema 1:
Sistema 2:
Em ambos os sistemas, os três planos se intersectam em pontos únicos no espaço.