Dada a base ache uma base ortonormal (f1, f2, f3) tal que f1 é paralelo a e1 e que f2 seja combinação linear de e1, e2.
Passo 1
O enunciado pede para, a partir de uma base qualquer l(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3r) de R^3, construir uma base ortonormal l(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3r) tal que
overrightarrow f1 seja paralelo a overrightarrow e1,
overrightarrow f2 esteja no plano gerado por overrightarrow e1,overrightarrow e2.
Vamos usar o processo de Gram–Schmidt, que ortogonaliza passo a passo e depois normaliza.
Passo 2
Para garantir que overrightarrow f1 seja paralelo a overrightarrow e1 e unitário, definimos
overrightarrow f1 = overrightarrow e1|overrightarrow e1|
Passo 3
Agora ortogonalizamos overrightarrow e2 em relação a overrightarrow f1. Primeiro subtraímos a projeção de overrightarrow e2 sobre overrightarrow f1:
overrightarrow u2 = overrightarrow e2 - l(overrightarrow e2 cdot overrightarrow f1r),overrightarrow f1
Como overrightarrow u2 está no plano gerado por overrightarrow e1,overrightarrow e2 e é ortogonal a overrightarrow f1, basta normalizar: