Dada a base (e1, e2, e3) ache uma base ortonormal (f1, f2, f3) tal que f1 é paralelo a e1 e que f2 seja combinação linear de e1, e2.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir de uma base qualquer l(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3r) de R^3, construir uma base ortonormal l(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3r) tal que
  1. overrightarrow f1 seja paralelo a overrightarrow e1,
  2. overrightarrow f2 esteja no plano gerado por overrightarrow e1,overrightarrow e2.
    Vamos usar o processo de Gram–Schmidt, que ortogonaliza passo a passo e depois normaliza.

Passo 2

Para garantir que overrightarrow f1 seja paralelo a overrightarrow e1 e unitário, definimos
overrightarrow f1 = overrightarrow e1|overrightarrow e1|

Passo 3

Agora ortogonalizamos overrightarrow e2 em relação a overrightarrow f1. Primeiro subtraímos a projeção de overrightarrow e2 sobre overrightarrow f1:
overrightarrow u2 = overrightarrow e2 - l(overrightarrow e2 cdot overrightarrow f1r),overrightarrow f1
Como overrightarrow u2 está no plano gerado por overrightarrow e1,overrightarrow e2 e é ortogonal a overrightarrow f1, basta normalizar:
overrightarrow f2 = overrightarrow u2|overrightarrow u2|

Passo 4

Finalmente, ortogonalizamos overrightarrow e3 em relação a overrightarrow f1 e overrightarrow f2. Definimos
overrightarrow u3 = overrightarrow e3 - l(overrightarrow e3 cdot overrightarrow f1r),overrightarrow f1 - l(overrightarrow e3 cdot overrightarrow f2r),overrightarrow f2,
que é ortogonal tanto a overrightarrow f1 quanto a overrightarrow f2. Normalizando, obtemos
overrightarrow f3 = overrightarrow u3|overrightarrow u3|

Resposta

A base ortonormal desejada é
overrightarrow f1 = overrightarrow e1|overrightarrow e1|, overrightarrow f2 = overrightarrow e2 - (overrightarrow e2!cdot!overrightarrow f1),overrightarrow f1|overrightarrow e2 - (overrightarrow e2!cdot!overrightarrow f1),overrightarrow f1|, overrightarrow f3 = overrightarrow e3 - (overrightarrow e3!cdot!overrightarrow f1),overrightarrow f1 - (overrightarrow e3!cdot!overrightarrow f2),overrightarrow f2|overrightarrow e3 - (overrightarrow e3!cdot!overrightarrow f1),overrightarrow f1 - (overrightarrow e3!cdot!overrightarrow f2),overrightarrow f2|

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