Para cada item a seguir, calcule \operatorname{rot} \vec{F}.
\vec{F}(x, y, z)=\cos z \vec{i}+x z \vec{j}+\sqrt{y} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \operatorname{rot}\vec{F} da campo vetorial dado. Informações fornecidas:
\vec{F}(x,y,z)=\cos z\,\vec{i}+x z\,\vec{j}+\sqrt{y}\,\vec{k}.
Então a tarefa é: calcular \operatorname{rot}\vec{F}(x,y,z) (também escrito \nabla\times\vec{F}) para esse \vec{F}. Observação útil: \sqrt{y}=y^{1/2} é definida para y\ge 0; a derivada em y=0 precisa de cuidado (veremos isso adiante).

Passo 2

Definição e fórmula do rot (curl). O rot de um campo vetorial \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) é dado pelo produto vetorial entre o operador nabla e \vec{F}:
\operatorname{rot}\vec{F}=\nabla\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\[4pt] \partial_x & \partial_y & \partial_z\\[4pt] F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}.
Expandindo essa determinante obtemos a fórmula componente a componente:
\operatorname{rot}\vec{F}=\Big(\partial_y F_3-\partial_z F_2\Big)\vec{i} +\Big(\partial_z F_1-\partial_x F_3\Big)\vec{j} +\Big(\partial_x F_2-\partial_y F_1\Big)\vec{k}.
Aqui \partial_x significa derivada parcial em relação a x (tratando y,z como constantes), e análogamente para \partial_y,\partial_z.]

Passo 3

Identificamos as componentes do campo:
F_1(x,y,z)=\cos z,\qquad F_2(x,y,z)=x z,\qquad F_3(x,y,z)=\sqrt{y}=y^{1/2}.
Vou calcular cada derivada parcial que aparece na fórmula do rot.

Passo 4

Calcular \partial_y F_3. Como F_3(y)=y^{1/2}, usamos a regra do poder:
\frac{d}{dy}y^{1/2}=\frac{1}{2}y^{-1/2}.
Portanto
\partial_y F_3=\frac{1}{2}y^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{y}},
válido para y>0. Em y=0 a derivada explode (não é finita).

Passo 5

Calcular \partial_z F_2. Como F_2(x,z)=x z, tratando x como constante,
\partial_z F_2 = x.

Passo 6

Combinar para obter a componente \vec{i}:
\partial_y F_3-\partial_z F_2=\frac{1}{2}y^{-1/2}-x.

Passo 7

Calcular \partial_z F_1. Como F_1(z)=\cos z,
\partial_z F_1=-\sin z.
Calcular \partial_x F_3. Como F_3 depende apenas de y, temos
\partial_x F_3=0.

Passo 8

Combinar para obter a componente \vec{j}:
\partial_z F_1-\partial_x F_3=-\sin z - 0 = -\sin z.

Passo 9

Calcular \partial_x F_2. Como F_2(x,z)=x z,
\partial_x F_2 = z.
Calcular \partial_y F_1. Como F_1=\cos z não depende de y,
\partial_y F_1=0.

Passo 10

Combinar para obter a componente \vec{k}:
\partial_x F_2-\partial_y F_1 = z - 0 = z.

Passo 11

Montar o resultado final reunindo as três componentes:
\operatorname{rot}\vec{F}(x,y,z)=\left(\frac{1}{2}y^{-1/2}-x\right)\vec{i}-\sin z\,\vec{j}+z\,\vec{k}.
Lembrete: a expressão \frac{1}{2}y^{-1/2} pode ser escrita como \dfrac{1}{2\sqrt{y}} e está bem definida para y>0; em y=0 essa componente não é finita.

Resposta

\operatorname{rot}\vec{F}(x,y,z)=\left(\frac{1}{2}y^{-1/2}-x\right)\vec{i}-\sin z\,\vec{j}+z\,\vec{k}

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