Para cada item a seguir, calcule rot overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y, z)=-y \vec{i}+\cos (x) \vec{j}+z \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional (curl) da campo vetorial \vec{F}(x,y,z) = -y\,\vec{i} + \cos(x)\,\vec{j} + z\,\vec{k}. Isso faz parte do cálculo vetorial, e vamos usar a definição \nabla \times \vec{F} usando derivadas parciais.

Passo 2

Escrevemos \vec{F}=(P,Q,R) com
P(x,y,z) = -y,\quad Q(x,y,z) = \cos(x),\quad R(x,y,z) = z
e a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é dada pelo determinante
\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\\ P & Q & R \end{vmatrix}.

Passo 3

Calculamos a componente \vec{i}:
(\nabla \times \vec{F})_x = \frac{\partial R}{\partial y} \;-\;\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y}(z) \;-\;\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\cos(x)\bigr) = 0 - 0 = 0.

Passo 4

Calculamos a componente \vec{j}:
(\nabla \times \vec{F})_y = \frac{\partial P}{\partial z} \;-\;\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z}(-y) \;-\;\frac{\partial}{\partial x}(z) = 0 - 0 = 0.

Passo 5

Calculamos a componente \vec{k}:
(\nabla \times \vec{F})_z = \frac{\partial Q}{\partial x} \;-\;\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(x)\bigr) \;-\;\frac{\partial}{\partial y}(-y) = -\sin(x) - (-1) = 1 - \sin(x).

Passo 6

Juntando as três componentes, obtemos
\nabla \times \vec{F} = 0\,\vec{i} + 0\,\vec{j} + \bigl(1-\sin(x)\bigr)\,\vec{k} = \bigl(1-\sin(x)\bigr)\,\vec{k}.

Resposta

\nabla \times \vec{F} = \bigl(1-\sin(x)\bigr)\,\vec{k}.

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