Para cada item a seguir, calcule rot overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y, z)=\operatorname{tg} x \vec{i}+y \vec{j}+x z \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotor (curl) da campo de vetores
\vec F(x,y,z) = \tan(x)\,\vec i + y\,\vec j + xz\,\vec k.
Este problema faz parte de Cálculo Vetorial, e vamos usar a definição de rotor como produto vetorial entre o operador nabla e o campo \vec F.

Passo 2

Para um campo \vec F = P\,\vec i + Q\,\vec j + R\,\vec k, o rotor é dado por
\operatorname{rot}\vec F = \nabla \times \vec F = \bigl(\tfrac{\partial R}{\partial y}-\tfrac{\partial Q}{\partial z}\bigr)\,\vec i + \bigl(\tfrac{\partial P}{\partial z}-\tfrac{\partial R}{\partial x}\bigr)\,\vec j + \bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,\vec k.
Aqui P(x,y,z)=\tan(x), Q(x,y,z)=y e R(x,y,z)=xz.

Passo 3

Calcular as derivadas necessárias para a componente \vec i:
\tfrac{\partial R}{\partial y} = \tfrac{\partial}{\partial y}(xz) = 0, \quad \tfrac{\partial Q}{\partial z} = \tfrac{\partial}{\partial z}(y) = 0.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias para a componente \vec j:
\tfrac{\partial P}{\partial z} = \tfrac{\partial}{\partial z}\bigl(\tan(x)\bigr) = 0, \quad \tfrac{\partial R}{\partial x} = \tfrac{\partial}{\partial x}(xz) = z.

Passo 5

Calcular as derivadas necessárias para a componente \vec k:
\tfrac{\partial Q}{\partial x} = \tfrac{\partial}{\partial x}(y) = 0, \quad \tfrac{\partial P}{\partial y} = \tfrac{\partial}{\partial y}\bigl(\tan(x)\bigr) = 0.

Passo 6

Substituindo na fórmula do rotor, obtemos
\operatorname{rot}\vec F = (0-0)\,\vec i + (0 - z)\,\vec j + (0-0)\,\vec k = -\,z\,\vec j.

Resposta

\displaystyle \operatorname{rot}\vec F = -\,z\,\vec j.

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