Em cada um dos problemas de 12 a 19, determinar uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
13) focos \mathrm{F}_{1}(0,-5) e \mathrm{F}_{2}(0,5), eixo menor igual a 10 ;

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujos focos são (0,-5) e (0,5) e cujo eixo menor mede 10. O conteúdo aqui é a definição padrão de elipse com focos no eixo y.

Passo 2

Como os focos estão em (0,\pm5), a distância focal é
c = 5.

Passo 3

O eixo menor tem comprimento 2b=10, logo
b = 5.

Passo 4

Na elipse vale a relação
a^2 = b^2 + c^2.
Substituindo b=5 e c=5 vem
a^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50.

Passo 5

Como o maior eixo é vertical a>b no eixo y, a equação padrão é
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1.
Portanto
\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{50} = 1.

Passo 6

Para esboçar:
– Centro em (0,0).
– Vértices em \bigl(0,\pm a\bigr) = \bigl(0,\pm5\sqrt{2}\bigr).
– Co-vértices em \bigl(\pm b,0\bigr) = (\pm5,0).
– Focos em (0,\pm5).
Desenha-se a curva unindo esses pontos de forma suave.

Resposta

\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{50} = 1.

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