Para cada item a seguir, calcule rot overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y, z)=y z \vec{i}+x z \vec{j}+e^{x y} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede o rotacional (curl) do campo \vec F(x,y,z)=yz\,\mathbf i + xz\,\mathbf j + e^{xy}\,\mathbf k.
O conteúdo é Cálculo Vetorial em \mathbb R^3: usar a definição de \nabla\times\vec F em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Seja
\vec F=(P,Q,R),\quad P(x,y,z)=yz,\;Q(x,y,z)=xz,\;R(x,y,z)=e^{xy}.
Por definição,
\nabla\times\vec F=\bigl(R_y - Q_z,\;P_z - R_x,\;Q_x - P_y\bigr).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias:
R_y=\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x\,e^{xy}, \quad Q_z=\frac{\partial}{\partial z}(xz)=x,
P_z=\frac{\partial}{\partial z}(yz)=y, \quad R_x=\frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y\,e^{xy},
Q_x=\frac{\partial}{\partial x}(xz)=z, \quad P_y=\frac{\partial}{\partial y}(yz)=z.

Passo 4

Montar cada componente do rotacional e simplificar:
– primeira componente:
R_y - Q_z = x\,e^{xy} - x = x\,(e^{xy}-1);
– segunda componente:
P_z - R_x = y - y\,e^{xy} = -y\,(e^{xy}-1);
– terceira componente:
Q_x - P_y = z - z = 0.

Passo 5

Reunindo tudo, obtemos
\nabla\times\vec F = \bigl(x(e^{xy}-1),\;-y(e^{xy}-1),\;0\bigr).

Resposta

\nabla\times\vec F=(x(e^{xy}-1),\,-y(e^{xy}-1),\,0)

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