Para cada item a seguir, calcule rot overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right) \vec{i}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial em \mathbb{R}^2
\vec F(x,y) = \bigl(x^2 + y^2\bigr)\,\vec i
e pede o rotacional desse campo. O conteúdo envolvido é definição de rotacional em duas dimensões e cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas no plano, se \vec F=(F_x,F_y), o rotacional (ou componente escalar do curl) é dado por
\mathrm{rot}\,\vec F \;=\;\frac{\partial F_{y}}{\partial x}\;-\;\frac{\partial F_{x}}{\partial y}.

Passo 3

Identificamos os componentes de \vec F:
F_x(x,y) = x^2 + y^2, \quad F_y(x,y) = 0.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial F_{y}}{\partial x} = \frac{\partial (0)}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial F_{x}}{\partial y} = \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial y} = 2y.

Passo 5

Substituindo na fórmula do rotacional:
\mathrm{rot}\,\vec F = 0 - 2y = -2y.

Resposta

\mathrm{rot}\,\vec F(x,y) = -2y.

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