Para cada item a seguir, calcule rot \overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y, z)=-x \vec{i}+y \vec{j}-x z \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede o rotacional (ou curl) do campo vetorial \vec{F}(x,y,z) = -x\,\vec{i} + y\,\vec{j} - xz\,\vec{k}.
O conteúdo aqui é o cálculo do rotacional em coordenadas cartesianas, usando a definição \mathrm{rot}\,\vec{F} = \nabla \times \vec{F}.

Passo 2

A definição em forma de determinante é
\mathrm{rot}\,\vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}
onde F_x=-x, F_y=y e F_z=-xz.

Passo 3

Calculamos cada componente do rotacional: \displaystyle (\mathrm{rot}\,\vec{F})_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial(-xz)}{\partial y} - \frac{\partial(y)}{\partial z} = 0 - 0 = 0. \displaystyle (\mathrm{rot}\,\vec{F})_y = \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial(-x)}{\partial z} - \frac{\partial(-xz)}{\partial x} = 0 - (-z) = z. \displaystyle (\mathrm{rot}\,\vec{F})_z = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial(y)}{\partial x} - \frac{\partial(-x)}{\partial y} = 0 - 0 = 0.

Passo 4

Juntando as componentes, obtemos
\mathrm{rot}\,\vec{F}(x,y,z) = 0\,\vec{i} + z\,\vec{j} + 0\,\vec{k} = z\,\vec{j}.

Resposta

\mathrm{rot}\,\vec{F}(x,y,z) = z\,\vec{j}.

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