Para cada item a seguir, calcule rot \overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y, z)=\cos (z) \vec{i}+x z \vec{j}+\sqrt{y} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\cos(z)\,\vec{i}+x\,z\,\vec{j}+\sqrt{y}\,\vec{k}.
Este é um problema de cálculo vetorial em \mathbb{R}^3, e vamos usar a definição de rotacional via derivadas parciais.

Passo 2

Seja
\vec{F}=(F_1,F_2,F_3) \quad\text{com}\quad F_1(x,y,z)=\cos(z), \; F_2(x,y,z)=x\,z, \; F_3(x,y,z)=\sqrt{y}.
O rotacional de \vec{F} é dado por
\mathrm{rot}\,\vec{F} = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}, \; \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}, \; \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial F_3}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sqrt{y}\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{y}}, \qquad \frac{\partial F_2}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}(x\,z) =x,
\frac{\partial F_1}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\cos(z)\bigr) =-\sin(z), \qquad \frac{\partial F_3}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sqrt{y}\bigr) =0,
\frac{\partial F_2}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x\,z) =z, \qquad \frac{\partial F_1}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(z)\bigr) =0.

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional, obtemos cada componente:
componente em \vec{i}:
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} =\frac{1}{2\sqrt{y}}-x,
componente em \vec{j}:
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} =-\sin(z)-0 =-\sin(z),
componente em \vec{k}:
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} =z-0 =z.

Passo 5

Portanto, o rotacional final fica
\mathrm{rot}\,\vec{F} = \Bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{y}}-x\Bigr)\,\vec{i} -\sin(z)\,\vec{j} +z\,\vec{k}.

Resposta

\displaystyle \mathrm{rot}\,\vec{F} = \bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{y}}-x\bigr)\,\vec{i} \;-\sin(z)\,\vec{j}\;+\;z\,\vec{k}.

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