Item (b) A partir do item (a) calcule \int_{1}^{4} 4 x \ln (x) d x e insira a sua resposta abaixo

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4}4x\ln(x)\,dx
usando técnica de integração por partes, isto é, a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(x),\quad dv = 4x\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx,\quad v = \int 4x\,dx = 2x^2.
Aplicando integração por partes:
\int 4x\ln(x)\,dx = 2x^2\ln(x) - \int 2x^2\cdot\frac{1}{x}\,dx = 2x^2\ln(x) - 2\int x\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral restante:
2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^2}{2} = x^2,
logo uma primitiva é
F(x) = 2x^2\ln(x) - x^2.

Passo 4

Avaliaremos F(x) entre 1 e 4:
F(4) = 2\cdot4^2\ln(4) - 4^2 = 32\ln(4) - 16,
F(1) = 2\cdot1^2\ln(1) - 1^2 = 0 - 1 = -1.
Portanto,
\int_{1}^{4}4x\ln(x)\,dx = F(4) - F(1) = (32\ln(4)-16) - (-1) = 32\ln(4) - 15.
Como \ln(4)=2\ln(2), obtemos
32\ln(4) = 64\ln(2),
então a resposta final é

Resposta

64\ln(2) - 15.

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