Para cada item a seguir, calcule rot \overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y, z)=y z \vec{i}+x z \vec{j}+e^{x y} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede o rotacional (ou curl) do campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=y z\,\vec{i}+x z\,\vec{j}+e^{x y}\,\vec{k}.
Este cálculo usa a definição
\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\\ y z & x z & e^{x y} \end{vmatrix}
que nos dá cada componente do rotacional em termos de derivadas parciais.

Passo 2

Vamos começar pela componente em \mathbf{i}, que vale
(\nabla\times\vec{F})_x =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(F_z\bigr) -\frac{\partial}{\partial z}\bigl(F_y\bigr).
Aqui F_z=e^{x y} e F_y=x z. Então
\frac{\partial}{\partial y}(e^{x y})=x\,e^{x y}, \qquad \frac{\partial}{\partial z}(x z)=x.
Logo
(\nabla\times\vec{F})_x =x\,e^{x y}-x =x\bigl(e^{x y}-1\bigr).

Passo 3

Agora a componente em \mathbf{j}, que é
(\nabla\times\vec{F})_y =-\Bigl[\frac{\partial}{\partial x}\bigl(F_z\bigr) -\frac{\partial}{\partial z}\bigl(F_x\bigr)\Bigr].
Temos F_z=e^{x y} e F_x=y z. Então
\frac{\partial}{\partial x}(e^{x y}) =y\,e^{x y}, \qquad \frac{\partial}{\partial z}(y z)=y.
Portanto
(\nabla\times\vec{F})_y =-\bigl[y\,e^{x y}-y\bigr] =y-y\,e^{x y} =y\bigl(1-e^{x y}\bigr).

Passo 4

Finalmente a componente em \mathbf{k}, dada por
(\nabla\times\vec{F})_z =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(F_y\bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\bigl(F_x\bigr).
Aqui F_y=x z e F_x=y z. Então
\frac{\partial}{\partial x}(x z)=z, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(y z)=z,
levando a
(\nabla\times\vec{F})_z =z-z =0.

Passo 5

Juntando as três componentes, obtemos
\nabla\times\vec{F} = x\bigl(e^{x y}-1\bigr)\,\mathbf{i} + y\bigl(1-e^{x y}\bigr)\,\mathbf{j} +0\,\mathbf{k}.

Resposta

\boxed{\nabla\times\vec{F} = x\bigl(e^{x y}-1\bigr)\,\vec{i} + y\bigl(1-e^{x y}\bigr)\,\vec{j}.}

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