Para cada item a seguir, calcule rot \overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y)=z x y \vec{i}+x^{2} \vec{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial em \mathbb{R}^3
\vec F(x,y,z)=z\,x\,y\,\vec i + x^{2}\,\vec j + 0\,\vec k
e pede o rotor \nabla\times\vec F. Vamos usar a definição de rotor em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Lembrando que
\nabla\times\vec F =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[4pt] F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{vmatrix},
onde F_{1}=zxy, F_{2}=x^{2} e F_{3}=0.]

Passo 3

Calculamos cada componente do rotor:
(\nabla\times\vec F)_{x} =\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z} =0-0=0,
(\nabla\times\vec F)_{y} =\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x} =xy-0=xy,
(\nabla\times\vec F)_{z} =\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} =2x - zx.

Passo 4

Juntando tudo, obtemos
\nabla\times\vec F =0\,\vec i + xy\,\vec j + (2x - zx)\,\vec k.

Resposta

\nabla\times\vec F = xy\,\vec j + x\,(2 - z)\,\vec k.

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