Use integração por partes para resolver as integrais
\int \sin x \ln \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \sin x \,\ln(\cos x)\,dx
O conteúdo aqui é integração por partes: precisamos escolher uma parte para derivar (-geralmente u) e outra para integrar (-geralmente dv).

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(\cos x), \quad dv = \sin x\,dx.
Logo,
du = \frac{d}{dx}\bigl[\ln(\cos x)\bigr]\,dx = -\tan x\,dx,
v = \int \sin x\,dx = -\cos x.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Substituindo nossos u, v, du e dv, obtemos
\int \sin x \,\ln(\cos x)\,dx = -\cos x \,\ln(\cos x) - \int \bigl(-\cos x\bigr)\bigl(-\tan x\bigr)\,dx.
Como \bigl(-\cos x\bigr)\bigl(-\tan x\bigr) = \cos x \,\tan x e \cos x \,\tan x = \sin x, segue
\int \sin x \,\ln(\cos x)\,dx = -\cos x \,\ln(\cos x) - \int \sin x\,dx = -\cos x \,\ln(\cos x) + \cos x.

Passo 4

Como é uma integral indefinida, acrescentamos a constante de integração C.

Resposta

-\cos x \,\ln(\cos x) + \cos x + C

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