Mostre que n^{4}+4 é sempre um número composto quando n \in \mathbb{Z} e |n| \neq 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{Z} com |n|\neq1, o número
n^{4}+4
não é primo, ou seja, é composto. O conteúdo principal aqui é uma fatoração clássica conhecida como identidade de Sophie Germain.

Passo 2

Vamos aplicar a identidade de Sophie Germain para a=n e b=1, que diz:
a^{4}+4b^{4}=(a^{2}-2ab+2b^{2})\,(a^{2}+2ab+2b^{2}).
Substituindo a=n e b=1, obtemos
n^{4}+4 = (n^{2}-2n+2)\,(n^{2}+2n+2).

Passo 3

Falta verificar que, quando |n|\neq1, ambos os fatores \,n^{2}-2n+2 e n^{2}+2n+2
são inteiros maiores que 1.
  • Se n\ge2, então
n^{2}-2n+2 = (n-1)^{2}+1 \ge 1^{2}+1 = 2,
e claramente n^{2}+2n+2>2.
  • Se n\le-2, note que trocar n por -n apenas inverte os papéis dos dois fatores, então também cada um vale pelo menos 2.
Logo, para |n|\neq1, ambos os fatores são maiores que 1 e seu produto é precisamente n^{4}+4. Isso prova que n^{4}+4 é composto.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{Z} com |n|\neq1, tem-se
n^{4}+4 = (n^{2}-2n+2)\,(n^{2}+2n+2)
com ambos os fatores inteiros e maiores que 1. Portanto, n^{4}+4 é sempre composto.

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