Mostre que
é sempre um número composto quando
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
com
, o número
não é primo, ou seja, é composto. O conteúdo principal aqui é uma fatoração clássica conhecida como identidade de Sophie Germain.
Passo 2
Vamos aplicar a identidade de Sophie Germain para
e
, que diz:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 3
Falta verificar que, quando
, ambos os fatores
e
são inteiros maiores que .
são inteiros maiores que
- Se
, então
e claramente
.
- Se
, note que trocar por apenas inverte os papéis dos dois fatores, então também cada um vale pelo menos .
Logo, para
, ambos os fatores são maiores que
e seu produto é precisamente
. Isso prova que
é composto.
Resposta
Para todo
com
, tem-se
com ambos os fatores inteiros e maiores que
. Portanto,
é sempre composto.