Calcule a integral de linha :
a) Diretamente.
b) Usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde e é a curva definida por para . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e aplicar tanto a resolução direta quanto o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 2
Parte a) Resolução Direta
Primeiro, vamos fazer a parametrização da curva . A curva é dada por , então:
O próximo passo é calcular , que é a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na função :
Simplificando:
Então, a integral de linha fica:
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, vamos calcular a integral:
Somando todos:
2 - 6 + 15 - 12 = -1
Passo 3
Parte b) Usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha
Agora, vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos diz que se F é um campo vetorial conservativo, ou seja, existe uma função potencial phi tal que F = nabla phi, então:
integralC F cdot dr = phi(r(1)) - phi(r(0))
Primeiro, precisamos verificar se F é conservativo. Para isso, verificamos se as derivadas cruzadas são iguais:
F(x, y) = (P, Q) = (2x + y^2, 2xy) partial Ppartial y = 2y partial Qpartial x = 2y
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, F é conservativo.
Agora, encontramos a função potencial phi tal que:
partial phipartial x = P = 2x + y^2 partial phipartial y = Q = 2xy