Seja F(x, y)=(2 x+y^2, 2 x y) e considere C a curva parametrizada por
r(t)=(t^2+2, t-3), 0 <= t <= 1
Calcule a integral de linha integralC F cdot d r :
a) Diretamente.
b) Usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde F(x, y)=(2 x+y^2, 2 x y) e C é a curva definida por r(t)=(t^2+2, t-3) para 0 <= t <= 1. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e aplicar tanto a resolução direta quanto o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Parte a) Resolução Direta
Primeiro, vamos fazer a parametrização da curva C. A curva é dada por r(t)=(t^2+2, t-3), então:
x(t) = t^2 + 2 y(t) = t - 3
O próximo passo é calcular dr, que é a derivada de r(t) em relação a t:
dxdt = 2t dydt = 1 dr = (dxdt, dydt) dt = (2t, 1) dt
Agora, substituímos x(t) e y(t) na função F:
F(x(t), y(t)) = (2(t^2 + 2) + (t - 3)^2, 2(t^2 + 2)(t - 3))
Simplificando:
F(x(t), y(t)) = (2t^2 + 4 + t^2 - 6t + 9, 2(t^2 + 2)(t - 3)) = (3t^2 - 6t + 13, 2(t^3 - 3t^2 + 2t - 6))
Então, a integral de linha fica:
integral0^1 F cdot dr = integral0^1 (3t^2 - 6t + 13)(2t) + (2(t^3 - 3t^2 + 2t - 6))(1) dt
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
= integral0^1 [ (3t^2 - 6t + 13) cdot 2t + 2(t^3 - 3t^2 + 2t - 6) ] dt = integral0^1 (6t^3 - 12t^2 + 26t + 2t^3 - 6t^2 + 4t - 12 ) dt = integral0^1 (8t^3 - 18t^2 + 30t - 12 ) dt
Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 8t^3 dt = 8 cdot t^44 |0^1 = 2 integral0^1 -18t^2 dt = -18 cdot t^33 |0^1 = -6 integral0^1 30t dt = 30 cdot t^22 |0^1 = 15 integral0^1 -12 dt = -12t |0^1 = -12
Somando todos:
2 - 6 + 15 - 12 = -1

Passo 3

Parte b) Usando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha
Agora, vamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, que nos diz que se F é um campo vetorial conservativo, ou seja, existe uma função potencial phi tal que F = nabla phi, então:
integralC F cdot dr = phi(r(1)) - phi(r(0))
Primeiro, precisamos verificar se F é conservativo. Para isso, verificamos se as derivadas cruzadas são iguais:
F(x, y) = (P, Q) = (2x + y^2, 2xy) partial Ppartial y = 2y partial Qpartial x = 2y
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, F é conservativo.
Agora, encontramos a função potencial phi tal que:
partial phipartial x = P = 2x + y^2 partial phipartial y = Q = 2xy
Integrando P em relação a x:
phi(x, y) = integral (2x + y^2) dx = x^2 + y^2x + g(y)
Derivando phi em relação a y:
partial phipartial y = 2xy + g'(y) = Q = 2xy
Isso implica que g'(y) = 0, então g(y) é constante. Podemos ignorar essa constante.
Portanto, a função potencial é:
phi(x, y) = x^2 + y^2x
Agora, avaliamos phi nos pontos finais da curva C.
Quando t = 0:
r(0) = (0^2 + 2, 0 - 3) = (2, -3)
Quando t =1:
r(1) = (1^2 + 2, 1 - 3) = (3, -2)
Calculando phi nesses pontos:
phi(3, -2) = 3^2 + (-2)^2 cdot 3 = 9 + 4 cdot 3 = 9 + 12 = 21 phi(2, -3) = 2^2 + (-3)^2 cdot 2 = 4 + 9 cdot 2 = 4 + 18 = 22
Aplicando o teorema:
integralC F cdot dr = phi(3, -2) - phi(2, -3) = 21 - 22 = -1

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r vale -1.

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