Utilize a tabela a seguir, das séries de Maclaurin, para obter a série de Maclaurin das funções:
ll 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+cdots & R=1 e^x=sumn=0^infty x^nn!=1+x1!+x^22!+x^33!+cdots & R=infty sen x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!=x-x^33!+x^55!-x^77!+cdots & R=infty cos x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n(2 n)!=1-x^22!+x^44!-x^66!+cdots & R=infty tg^-1 x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+12 n+1=x-x^33+x^55-x^77+cdots & R=1 ln (1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1 x^nn=x-x^22+x^33-x^44+cdots & R=1 (1+x)^k=sumn=0^inftybinomkn x^n=1+k x+k(k-1)2! x^2+k(k-1)(k-2)3! x^3+cdots & R=1
d) f(x)=e^x+e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=e^x+e^2x. O conteúdo é série de Maclaurin e vamos usar a propriedade de linearidade de séries de potências, além das séries conhecidas de e^x fornecidas na tabela.

Passo 2

Da tabela temos em display:
e^x=sumn=0^inftyx^nn!,
e fazendo a substituição xto2x obtemos
e^2x=sumn=0^infty(2x)^nn! =sumn=0^infty2^nx^nn!

Passo 3

Usando linearidade somamos termo a termo:
f(x)=e^x+e^2x =sumn=0^inftyx^nn!+sumn=0^infty2^nx^nn! =sumn=0^inftyl(1n!+2^nn!r)x^n

Passo 4

Podemos escrever os primeiros termos para ver o padrão:
f(x)=2+3x+52x^2+96x^3+cdots
e logo o termo geral é
1+2^nn!,x^n

Resposta

f(x)=e^x+e^2x =sumn=0^infty1+2^nn!,x^n

Exercícios relacionados