Expresse a solução do P.V.I. abaixo em termos de uma convolução:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=cos (alpha t), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + 3y' + 2y = cos(alpha t), y(0)=0,;y'(0)=0
usando convolução. O conteúdo necessário é a transformada de Laplace para obter a resposta ao impulso h(t) do sistema linear com coeficientes constantes e então expressar
y(t) = (h * f)(t)
com f(t)=cos(alpha t).

Passo 2

Tomando Laplace em ambos os lados e usando y(0)=0, y'(0)=0, obtemos
s^2Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = ss^2 + alpha^2
Isolando Y(s) em função de F(s)=Lcos(alpha t)=ss^2+alpha^2, surge a função de transferência
H(s)=Y(s)F(s) =1s^2 +3s +2 =1(s+1)(s+2)

Passo 3

Fazendo frações parciais em
1(s+1)(s+2) =1s+1-1s+2,
a transformada inversa dá a resposta ao impulso
h(t)=e^-t-e^-2t, t>=0

Passo 4

Como as condições iniciais são nulas, a solução pode ser escrita como convolução de h com f(t)=cos(alpha t), ou seja
y(t)=integral0^th(t-tau),cos(alpha tau),dtau

Resposta

y(t) =integral0^tl(e^-(t-tau)-e^-2(t-tau)r)cos(alpha tau),dtau

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