Em cada item a seguir derive a função dada aplicando os teoremas vistos em sala de aula.
f(z)=2 z+1z+5(3 z-1)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(z)=2z+1z+5,(3z-1)
e pede sua derivada f'(z).
Para isso vamos usar os teoremas de derivação vistos em sala: regra do produto e regra do quociente, além da derivada de funções lineares.

Passo 2

Definimos
U(z)=2z+1z+5, V(z)=3z-1
Pela regra do produto,
f'(z)=U'(z),V(z)+U(z),V'(z)

Passo 3

Primeiro V'(z) é imediata, pois V(z)=3z-1:
V'(z)=3
Para U'(z) usamos a regra do quociente. Se U(z)=g(z)h(z) então
U'(z)=g'(z),h(z)-g(z),h'(z)[h(z)]^2
Aqui g(z)=2z+1 e h(z)=z+5, logo g'(z)=2 e h'(z)=1. Substituindo:
U'(z) =2,(z+5)-(2z+1)cdot1(z+5)^2 =2z+10-2z-1(z+5)^2 =9(z+5)^2

Passo 4

Agora montamos
f'(z) =U'(z),V(z)+U(z),V'(z) =9(z+5)^2(3z-1) +2z+1z+5cdot3
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (z+5)^2:
f'(z) =9(3z-1)+3(2z+1)(z+5)(z+5)^2
Expandindo numerador:
9(3z-1)=27z-9, 3(2z+1)(z+5)=(6z+3)(z+5)=6z^2+33z+15,
27z-9+6z^2+33z+15 =6z^2+60z+6 =6,(z^2+10z+1)
Portanto
f'(z)=6,(z^2+10z+1)(z+5)^2

Resposta

f'(z)=6,(z^2+10z+1)(z+5)^2

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