Utilizando a definição de derivada, determine a derivada da função f(x)=3 x^2+12.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada da função f(x) = 3x^2 + 12 usando a definição de derivada. Aqui, estamos lidando com cálculo, mais especificamente com derivadas, que nos ajudam a entender como uma função está mudando em relação a x .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada, f'(x) , representa a taxa de variação da função f(x) em relação a x . A definição de derivada é dada por:
f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h
Isso significa que vamos calcular esse limite para a nossa função f(x) = 3x^2 + 12 .

Passo 3

Vamos começar substituindo f(x + h) e f(x) na fórmula:
f(x + h) = 3(x + h)^2 + 12
f(x) = 3x^2 + 12
Agora, vamos montar a expressão dentro do limite:
f(x + h) - f(x)h = 3(x + h)^2 + 12 - (3x^2 + 12)h

Passo 4

Simplificando a expressão no numerador:
3(x + h)^2 + 12 - 3x^2 - 12 = 3(x^2 + 2xh + h^2) + 12 - 3x^2 - 12 = 3x^2 + 6xh + 3h^2 + 12 - 3x^2 - 12 = 6xh + 3h^2
Então, a expressão fica:
6xh + 3h^2h

Passo 5

Agora, podemos simplificar dividindo cada termo por h :
6xhh + 3h^2h = 6x + 3h

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o limite quando h tende a 0:
f'(x) = limh to 0 (6x + 3h) = 6x + 0 = 6x

Resposta

A derivada da função f(x) = 3x^2 + 12 é f'(x) = 6x .

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