Calcule o limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão usando propriedades de limites e talvez transformar a função para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que temos
no denominador e também no expoente da função exponencial. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para facilitar.
Vamos deixar
. Assim, quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0. Nosso limite fica então:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite unidimensional:
Para resolver isso, vamos lembrar que o limite de
quando
é igual a
, onde
é uma constante. No nosso caso,
.
Isso ocorre porque
pode ser expandido em uma série de Taylor:
Subtraindo 1 e dividindo por
:
Quando
, todos os termos que contêm
desaparecem, restando apenas
.
Resposta
O limite é igual a -1.