Calcule o limite
lim (x, y) (0,0) e^-(x+y)-1x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim (x, y) (0,0) e^-(x+y)-1x+y
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão usando propriedades de limites e talvez transformar a função para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que temos x + y no denominador e também no expoente da função exponencial. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para facilitar.
Vamos deixar t = x + y . Assim, quando (x, y) se aproxima de (0,0) , t se aproxima de 0. Nosso limite fica então:
limt to 0 e^-t - 1t

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite unidimensional:
limt to 0 e^-t - 1t
Para resolver isso, vamos lembrar que o limite de e^kt - 1t quando t to 0 é igual a k , onde k é uma constante. No nosso caso, k = -1 .
Isso ocorre porque e^-t pode ser expandido em uma série de Taylor:
e^-t = 1 - t + t^22! - t^33! + dots
Subtraindo 1 e dividindo por t :
e^-t - 1t = -t + t^22! - t^33! + dotst = -1 + t2! - t^23! + dots
Quando t to 0 , todos os termos que contêm t desaparecem, restando apenas -1 .

Resposta

O limite é igual a -1.

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