Calcule as integrais duplas na região retangular D.
integral duplaD x sec ^2 y d A, D=(x, y) ; 0 <= x <= 2,0 <= y <= pi4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função f(x,y)=xsec^2y sobre o retângulo
D=l(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<=tfracpi4r
O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini para transformar em uma integral iterada e depois integrar em cada variável.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
integral duplaD xsec^2y,dA =integralx=0^2!!integraly=0^pi/4xsec^2y,dy,dx

Passo 3

Na integral interna em y, x é constante, e sabemos que
ddyl(tan yr)=sec^2y
Logo,
integraly=0^pi/4xsec^2y,dy =xintegral0^pi/4sec^2y,dy =xl[tan yr]0^pi/4 =xl(tantfracpi4-tan0r) =x(1-0) =x

Passo 4

Agora a integral externa em x fica
integral0^2x,dx =l[tfracx^22r]0^2 =2^22-0 =2

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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