Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de
. Em seguida, esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa de
incluindo domínio, interceptos, derivadas para monotonicidade e extremos, 2ª derivada para concavidade e inflexões, assíntotas e esboço do gráfico. Usaremos derivada e 2ª derivada, além de limites, para chegar a cada item.
Passo 2
Domínio e interceptos
- Domínio: o denominador não pode ser zero, logo
- Interseção com o eixo
: resolver dá , então ponto . - Interseção com o eixo
: é , mas não existe, logo não há intercepto em .
Passo 3
Derivada primeira e pontos críticos
Podemos reescrever
Podemos reescrever
Derivando,
Pontos críticos vêm de
ou onde
não existe (fora do domínio). Temos
Além disso
não existe em
, mas
já não está no domínio. Logo o único ponto crítico é
.
Passo 4
Monotonicidade e extremos locais
Analise do sinal de :
Analise do sinal de
- Em
: numerador , denominador ⇒ (decrescente). - Em
: numerador , denominador ⇒ (crescente). - Em
: numerador , denominador ⇒ (decrescente).
Portanto em
há uma troca de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local.
logo extremo local em
. Não há mínimo local. Não existem máximos ou mínimos globais finitos, pois
em
e tende a
em
.
Passo 5
Assíntotas verticais e horizontais
- Vertical em
. De fato
- Horizontal em
, pois
Não há oblíqua, já que o grau do numerador é menor que o do denominador.
Passo 6
Derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão
Da expressão , derivamos
Da expressão
Zerando o numerador obtém-se
. O sinal de
:
- Para
(e ) temos e ⇒ (concavidade para baixo). - Para
temos ⇒ (concavidade para cima).
Logo há ponto de inflexão em
Passo 7
Esboço do gráfico
- Em
: decresce de (negativo pequeno) até em , sendo concava para baixo. - Em
: cresce de até , ainda côncava para baixo. - Em
: decresce de até , concava para baixo. - Em
: decresce de assintoticamente ao eixo , agora côncava para cima.
Assíntotas eme , máximo local em , inflexão em , intercepto em .
Resposta
Domínio:
Intercepto em :
; sem intercepto em
.
, ponto crítico em
, máximo local em
.
Crescente em ; decrescente em
.
, inflexão em
; concava para baixo em
, para cima em
.
Assíntotas: vertical , horizontal
.
Esboço conforme descrição acima.
Intercepto em
Crescente em
Assíntotas: vertical
Esboço conforme descrição acima.