Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de f. Em seguida, esboce o gráfico de f.
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a análise completa de
f(x)=\frac{x-1}{x^2}
incluindo domínio, interceptos, derivadas para monotonicidade e extremos, 2ª derivada para concavidade e inflexões, assíntotas e esboço do gráfico. Usaremos derivada e 2ª derivada, além de limites, para chegar a cada item.

Passo 2

Domínio e interceptos
  1. Domínio: o denominador não pode ser zero, logo
\operatorname{Dom}f = (-\infty,0)\cup(0,\infty).
  1. Interseção com o eixo x: resolver x-1=0 x=1, então ponto (1,0).
  2. Interseção com o eixo y: é f(0), mas f(0) não existe, logo não há intercepto em y.

Passo 3

Derivada primeira e pontos críticos
Podemos reescrever
f(x)=\frac{x-1}{x^2}=x^{-1}-x^{-2}.
Derivando,
f'(x)=-x^{-2}+2x^{-3}=\frac{2-x}{x^3}.
Pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou onde f' não existe (fora do domínio). Temos
f'(x)=0\implies 2-x=0\implies x=2.
Além disso f' não existe em x=0, mas x=0 já não está no domínio. Logo o único ponto crítico é x=2.

Passo 4

Monotonicidade e extremos locais
Analise do sinal de f'(x)=\frac{2-x}{x^3}:
  • Em (-\infty,0): numerador 2-x>0, denominador x^3<0 f'<0 (decrescente).
  • Em (0,2): numerador >0, denominador >0 f'>0 (crescente).
  • Em (2,\infty): numerador 2-x<0, denominador >0 f'<0 (decrescente).
Portanto em x=2 há uma troca de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local.
f(2)=\frac{2-1}{2^2}=\frac14,
logo extremo local em \bigl(2,\tfrac14\bigr). Não há mínimo local. Não existem máximos ou mínimos globais finitos, pois f(x)\to0 em \pm\infty e tende a -\infty em x\to0^\pm.

Passo 5

Assíntotas verticais e horizontais
  1. Vertical em x=0. De fato
\lim_{x\to0^\pm}\frac{x-1}{x^2}=-\infty.
  1. Horizontal em y=0, pois
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-1}{x^2} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac1x-\frac1{x^2}=0.
Não há oblíqua, já que o grau do numerador é menor que o do denominador.

Passo 6

Derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão
Da expressão f'(x)=2x^{-3}-x^{-2}, derivamos
f''(x)=-6x^{-4}+2x^{-3}=\frac{2(x-3)}{x^4}.
Zerando o numerador obtém-se x=3. O sinal de f'':
  • Para x<3 (e x\neq0) temos x-3<0 e x^4>0 f''<0 (concavidade para baixo).
  • Para x>3 temos x-3>0 f''>0 (concavidade para cima).
Logo há ponto de inflexão em
\Bigl(3,\,f(3)\Bigr) =\Bigl(3,\tfrac{3-1}{9}\Bigr) =\Bigl(3,\tfrac29\Bigr).

Passo 7

Esboço do gráfico
  • Em (-\infty,0): f decresce de 0 (negativo pequeno) até -\infty em x\to0^-, sendo concava para baixo.
  • Em (0,2): f cresce de -\infty até \tfrac14, ainda côncava para baixo.
  • Em (2,3): f decresce de \tfrac14 até \tfrac29, concava para baixo.
  • Em (3,\infty): f decresce de \tfrac29 assintoticamente ao eixo y=0, agora côncava para cima.
    Assíntotas em x=0 e y=0, máximo local em \bigl(2,\tfrac14\bigr), inflexão em \bigl(3,\tfrac29\bigr), intercepto em (1,0).

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty)
Intercepto em x: (1,0); sem intercepto em y. f'(x)=\frac{2-x}{x^3}, ponto crítico em x=2, máximo local em \bigl(2,\tfrac14\bigr).
Crescente em (0,2); decrescente em (-\infty,0)\cup(2,\infty). f''(x)=\frac{2(x-3)}{x^4}, inflexão em \bigl(3,\tfrac29\bigr); concava para baixo em (-\infty,3), para cima em (3,\infty).
Assíntotas: vertical x=0, horizontal y=0.
Esboço conforme descrição acima.

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