Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de
. Em seguida, esboce o gráfico de
.
Passo 1
Temos
. O que se pede é um estudo completo de função: domínio, interceptos com os eixos, assíntotas, derivadas para achar pontos críticos, monotonicidade e extremos locais/globais, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, e por fim um esboço do gráfico.
Passo 2
Domínio e interceptos: para
existir precisamos
, logo
Interseção com o eixo
vem de
. Como
para todo
, não há solução, isto é, sem intercepto em
. Interseção com o eixo
faz
, dando
logo o ponto
.
Passo 3
Assíntotas:
Vertical em pois o denominador zera aí enquanto
. De fato
Vertical em
Horizontal em
não existe, pois
Em
obtemos
logo
é assíntota horizontal quando
.
Passo 4
Derivada primeira e monotonicidade: usando regra do quociente,
Como
e
em todo o domínio, o sinal de
é o sinal de
. Logo:
-
para (isto é, em e em ): decrescente. -
para : crescente.
O único ponto crítico é
, onde
. Como a função vai de decrescente a crescente ao passar em
, conclui-se que aí há mínimo local. Como para
a função cresce de
até
, esse mínimo em
é também mínimo global em
. Não há máximo local nem global.
Passo 5
Derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão:
O numerador é sempre positivo, então o sinal de
vem de
. Assim:
-
para : côncava para baixo em . -
para : côncava para cima em .
Não há ponto de inflexão porque a troca de concavidade ocorre em
, onde
não está definida.
Passo 6
Esboço do gráfico:
Em a curva sai de
, decresce e é côncava para baixo até explodir a
em
. Em seguida, sai de
em
, decresce ainda côncava para cima, atinge mínimo em
e daí cresce indefinidamente, sempre côncava para cima, sem outra assíntota além de
em
.
Em
Resposta
Domínio:
Interceptos: sem -intercepto;
-intercepto em
Assíntotas: (vertical) e
(horizontal em
)
Ponto crítico: ,
, mínimo local (e global em
)
Monotonicidade: decresce em , cresce em
Concavidade: para baixo em , para cima em
Infleções: nenhuma
Gráfico: conforme descrito acima.
Interceptos: sem
Assíntotas:
Ponto crítico:
Monotonicidade: decresce em
Concavidade: para baixo em
Infleções: nenhuma
Gráfico: conforme descrito acima.