Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de f. Em seguida, esboce o gráfico de f.
f(x)=\frac{e^{x}}{x+1}

Passo 1

Temos f(x)=\dfrac{e^x}{x+1}. O que se pede é um estudo completo de função: domínio, interceptos com os eixos, assíntotas, derivadas para achar pontos críticos, monotonicidade e extremos locais/globais, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, e por fim um esboço do gráfico.

Passo 2

Domínio e interceptos: para f existir precisamos x+1\neq0, logo
\dom(f)=(-\infty,-1)\cup(-1,\infty).
Interseção com o eixo x vem de f(x)=0. Como e^x>0 para todo x, não há solução, isto é, sem intercepto em x. Interseção com o eixo y faz x=0, dando
f(0)=\frac{e^0}{0+1}=1,
logo o ponto (0,1).

Passo 3

Assíntotas:
Vertical em x=-1 pois o denominador zera aí enquanto e^{-1}\neq0. De fato
\lim_{x\to -1^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to -1^+}f(x)=+\infty.
Horizontal em +\infty não existe, pois
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x+1}=+\infty.
Em -\infty obtemos
\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x+1}=0,
logo y=0 é assíntota horizontal quando x\to-\infty.

Passo 4

Derivada primeira e monotonicidade: usando regra do quociente,
f'(x) =\frac{e^x\,(x+1)-e^x\cdot1}{(x+1)^2} =\frac{e^x\,x}{(x+1)^2}.
Como e^x>0 e (x+1)^2>0 em todo o domínio, o sinal de f'(x) é o sinal de x. Logo:
  • f'(x)<0 para x<0 (isto é, em (-\infty,-1) e em (-1,0)): decrescente.
  • f'(x)>0 para x>0: crescente.
O único ponto crítico é x=0, onde f'(0)=0. Como a função vai de decrescente a crescente ao passar em 0, conclui-se que aí há mínimo local. Como para x>0 a função cresce de 1 até +\infty, esse mínimo em (0,1) é também mínimo global em (-1,\infty). Não há máximo local nem global.

Passo 5

Derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(e^x x (x+1)^{-2}\Bigr) =\frac{e^x(x^2+1)}{(x+1)^3}.
O numerador é sempre positivo, então o sinal de f''(x) vem de (x+1)^3. Assim:
  • f''(x)<0 para x<-1: côncava para baixo em (-\infty,-1).
  • f''(x)>0 para x>-1: côncava para cima em (-1,\infty).
Não há ponto de inflexão porque a troca de concavidade ocorre em x=-1, onde f não está definida.

Passo 6

Esboço do gráfico:
Em (-\infty,-1) a curva sai de y=0^-, decresce e é côncava para baixo até explodir a -\infty em x=-1. Em seguida, sai de +\infty em -1^+, decresce ainda côncava para cima, atinge mínimo em (0,1) e daí cresce indefinidamente, sempre côncava para cima, sem outra assíntota além de y=0 em -\infty.

Resposta

Domínio: (-\infty,-1)\cup(-1,\infty)
Interceptos: sem x-intercepto; y-intercepto em (0,1)
Assíntotas: x=-1 (vertical) e y=0 (horizontal em -\infty)
Ponto crítico: x=0, f(0)=1, mínimo local (e global em (-1,\infty))
Monotonicidade: decresce em (-\infty,-1)\cup(-1,0), cresce em (0,\infty)
Concavidade: para baixo em (-\infty,-1), para cima em (-1,\infty)
Infleções: nenhuma
Gráfico: conforme descrito acima.

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