Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de f. Em seguida, esboce o gráfico de f.
f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}
Isso envolve: domínio, interseções com eixos, pontos críticos, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, o esboço do gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio e as interseções com os eixos.
  1. O denominador não pode ser zero, logo
x^{2}-1\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm1.
Assim o domínio é
\mathcal{D} = (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
  1. Interseção com o eixo y: tomar x=0 (se estiver no domínio). Como 0\in(-1,1),
f(0)=\frac{0}{0^{2}-1}=0,
então o ponto é (0,0).
3. Interseção com o eixo x: resolver f(x)=0. Isso dá x=0 (única solução), já encontrada.

Passo 3

Analisar derivada primeira, monotonicidade e extremos.
  1. Calcular
f'(x) =\frac{(1)\,(x^{2}-1)-x\,(2x)}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{x^{2}-1-2x^{2}}{(x^{2}-1)^{2}} =-\frac{x^{2}+1}{(x^{2}-1)^{2}}.
  1. f'(x)=0 não ocorre em nenhum x\in\mathbb{R} pois x^{2}+1>0 sempre. f'(x) só é indefinida em x=\pm1, mas esses pontos não estão no domínio.
  2. O sinal de f'(x) é sempre negativo em cada intervalo de \mathcal{D}, porque o numerador é negativo e o denominador, sendo quadrado, é positivo. Logo f é estritamente decrescente em (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty).
  3. Conclusão: não existem extremos locais nem globais.

Passo 4

Analisar derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão.
  1. Derivando f'(x)=-\,(x^{2}+1)(x^{2}-1)^{-2} por regra do produto, encontra-se
f''(x) =\frac{2\,x\,(x^{2}+3)}{(x^{2}-1)^{3}}.
  1. Zerar f''(x) x=0 (único ponto de inflexão, pois x^{2}+3>0).
  2. Sinal de f'':
  • Em (-\infty,-1): x<0 e (x^{2}-1)^{3}>0 \Longrightarrow f''<0 (concavidade para baixo).
  • Em (-1,0): x<0 e (x^{2}-1)^{3}<0 \Longrightarrow f''>0 (concavidade para cima).
  • Em (0,1): x>0 e (x^{2}-1)^{3}<0 \Longrightarrow f''<0.
  • Em (1,\infty): x>0 e (x^{2}-1)^{3}>0 \Longrightarrow f''>0.

Passo 5

Determinar as assíntotas.
  1. Verticais onde o denominador zera: x=-1 e x=1.
  2. Como o grau do numerador 1 é menor que o do denominador 2, há assíntota horizontal em
y=0.

Passo 6

Esboçar mentalmente o gráfico usando todas as informações:
  • Em cada região (-\infty,-1), (-1,1), (1,\infty), a curva é decrescente.
  • Passa por (0,0), com ponto de inflexão aí.
  • Concavidade muda em x=-1, x=0, x=1.
  • Aproxima-se de \,y=0 em x\to\pm\infty e de x=\pm1 verticalmente.

Resposta

Domínio: \mathcal{D}=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)
Interseções: (0,0) só no eixo x e y
Pontos críticos: nenhum em \mathcal{D}
Monotonicidade: decrescente em cada intervalo de \mathcal{D}
Extremos: não há extremos locais nem globais
Concavidade:
• côncava para baixo em (-\infty,-1) e (0,1)
• côncava para cima em (-1,0) e (1,\infty)
Ponto de inflexão: x=0, ponto (0,0)
Assíntotas:
• verticais em x=-1 e x=1
• horizontal em y=0
Esboço: curva passando por (0,0), decrescente, aproximando-se de y=0 e de x=\pm1, com mudança de concavidade em -1,0,1.

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