Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de
. Em seguida, esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
Isso envolve: domínio, interseções com eixos, pontos críticos, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, o esboço do gráfico.
Passo 2
Determinar o domínio e as interseções com os eixos.
- O denominador não pode ser zero, logo
Assim o domínio é
- Interseção com o eixo
: tomar (se estiver no domínio). Como ,
então o ponto é
.
3. Interseção com o eixo : resolver
. Isso dá
(única solução), já encontrada.
3. Interseção com o eixo
Passo 3
Analisar derivada primeira, monotonicidade e extremos.
- Calcular
-
não ocorre em nenhum pois sempre. só é indefinida em , mas esses pontos não estão no domínio. - O sinal de
é sempre negativo em cada intervalo de , porque o numerador é negativo e o denominador, sendo quadrado, é positivo. Logo é estritamente decrescente em , e . - Conclusão: não existem extremos locais nem globais.
Passo 4
Analisar derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão.
- Derivando
por regra do produto, encontra-se
- Zerar
dá (único ponto de inflexão, pois ). - Sinal de
:
- Em
: e (concavidade para baixo). - Em
: e (concavidade para cima). - Em
: e . - Em
: e .
Passo 5
Determinar as assíntotas.
- Verticais onde o denominador zera:
e . - Como o grau do numerador
é menor que o do denominador , há assíntota horizontal em
Passo 6
Esboçar mentalmente o gráfico usando todas as informações:
- Em cada região
, , , a curva é decrescente. - Passa por
, com ponto de inflexão aí. - Concavidade muda em
, , . - Aproxima-se de
em e de verticalmente.
Resposta
Domínio:
Interseções: só no eixo
e
Pontos críticos: nenhum em
Monotonicidade: decrescente em cada intervalo de
Extremos: não há extremos locais nem globais
Concavidade:
• côncava para baixo em e
• côncava para cima em e
Ponto de inflexão: , ponto
Assíntotas:
• verticais em e
• horizontal em
Interseções:
Pontos críticos: nenhum em
Monotonicidade: decrescente em cada intervalo de
Extremos: não há extremos locais nem globais
Concavidade:
• côncava para baixo em
• côncava para cima em
Ponto de inflexão:
Assíntotas:
• verticais em
• horizontal em
Esboço: curva passando por
, decrescente, aproximando-se de
e de
, com mudança de concavidade em
.