Em cada item a seguir, determine se a função dada é contínua no ponto indicado.
h(x)=x[x], no ponto -3 .

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a função
h(x)=x,[x]
e quer saber se ela é contínua no ponto x=-3.
Conteúdo da matéria: continuidade de funções, limites laterais e função “parte inteira” (piso).
O que vamos precisar:
  • Definição de continuidade em um ponto;
  • Como funciona a parte inteira [x];
  • Cálculo de limites laterais em x=-3.

Passo 2

Definição de continuidade em x=a:
Uma função h é contínua em a se e somente se
limxto ah(x)=h(a)
Aqui, limxto ah(x) existe só se os limites laterais (pela esquerda e pela direita) são iguais.
Função parte inteira (piso):
[x] é o maior inteiro menor ou igual a x.
Logo, perto de -3:
  • Para x>-3 mas bem próximo de -3, [x]=-3.
  • Para x<-3 mas bem próximo de -3, [x]=-4.

Passo 3

Calculando o valor da função em x=-3:
h(-3)=(-3),l[-3r]=(-3)times(-3)=9

Passo 4

Agora os limites laterais em x=-3:
  1. Limite pela esquerda ( xto -3^-):
    para x<-3, [x]=-4, então
limxto -3^-h(x) =limxto -3^-x,[x] =(-3)times(-4)=12
  1. Limite pela direita ( xto -3^+):
    para x>-3, [x]=-3, então
limxto -3^+h(x) =limxto -3^+x,[x] =(-3)times(-3)=9

Passo 5

Como limxto -3^-h(x)=12 e limxto -3^+h(x)=9, os limites laterais são diferentes. Logo limxto -3h(x) não existe ou não bate com h(-3).

Resposta

A função h(x)=x,[x] NÃO é contínua em x=-3.

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