Encontre um exemplo de uma função que seja contínua apenas nos números inteiros.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede que a gente encontre uma função
f: ℝ → ℝ que seja contínua exatamente nos pontos inteiros (ℤ) e que em qualquer outro ponto (não inteiro) seja descontínua.
Isso cai em Análise em “continuidade de funções” e vai precisar de:
  1. Definição de limite e de função contínua em um ponto.
  2. Noção de números racionais (ℚ) e irracionais (ℝ∖ℚ), e o fato de ambos serem densos em ℝ.
  3. A ideia de distância de um real x ao conjunto dos inteiros, que a gente vai chamar de
d(x, Z) ;=;minnin Z|x-n|,
A partir do Passo 2 a gente já mete a mão na massa.

Passo 2

Definimos a função f por partes assim:
f(x)= d(x, Z), & xin Q,[6pt] 0, & xnotin Q
Ou seja, se x for racional a gente devolve a menor distância de x a um inteiro; se for irracional, devolve 0.]

Passo 3

Vamos mostrar que f é contínua em qualquer n∈ℤ.
  1. Note que f(n)=d(n,ℤ)=0 porque n está em ℤ.
  2. Para x próximo de n, a menor distância até n satisfaz
d(x, Z);=;minkin Z|x-k|;<=;|x-n|,
  1. Logo, seja ε>0. Se escolher δ=ε, então sempre que |x−n|<δ vem |f(x)−f(n)|=f(x)≤d(x,ℤ)≤|x−n|<ε.
  2. Isso vale tanto para x racional quanto irracional, porque em todo caso f(x)≤d(x,ℤ).
    Conclusão: limite f(x) quando x→n vale 0=f(n), ou seja, f é contínua em cada inteiro.

Passo 4

Agora em qualquer ponto x₀∉ℤ mostramos que f é descontínua. Divide em dois casos:
Caso A: x₀ irracional.
  • f(x₀)=0.
  • Se eu me aproximo de x₀ por uma sequência de racionais (ℚ é denso), em cada racional q perto de x₀ vale f(q)=d(q,ℤ)→d(x₀,ℤ)>0 (pois x₀ não é inteiro, então sua distância a ℤ é um número positivo).
  • Mas se eu me aproximo por irracionais, f(vale)=0.
    Logo as duas “vias” de aproximação dão limites diferentes (0 e d(x₀,ℤ)>0). Não há limite único, então é descontínua.
Caso B: x₀ racional não inteiro, digamos x₀=p/q com q≥2.
  • f(x₀)=d(x₀,ℤ)>0.
  • Aproximando por irracionais, f→0.
  • Aproximando por outros racionais de denominador grande, f→d(x₀,ℤ).
    De novo limitas diferentes, então descontínua.
Portanto, em qualquer x₀∉ℤ não existe limite f(x)→f(x₀) — f é descontínua.

Resposta

Um exemplo de função contínua apenas nos inteiros é
f(x)= minnin Z|x-n|, & xin Q,[8pt] 0, & xnotin Q
]

Exercícios relacionados