Encontre um exemplo de uma função que seja contínua apenas nos números inteiros.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede que a gente encontre uma função
f: ℝ → ℝ que seja contínua exatamente nos pontos inteiros (ℤ) e que em qualquer outro ponto (não inteiro) seja descontínua.
Isso cai em Análise em “continuidade de funções” e vai precisar de:
f: ℝ → ℝ que seja contínua exatamente nos pontos inteiros (ℤ) e que em qualquer outro ponto (não inteiro) seja descontínua.
Isso cai em Análise em “continuidade de funções” e vai precisar de:
- Definição de limite e de função contínua em um ponto.
- Noção de números racionais (ℚ) e irracionais (ℝ∖ℚ), e o fato de ambos serem densos em ℝ.
- A ideia de distância de um real x ao conjunto dos inteiros, que a gente vai chamar de
A partir do Passo 2 a gente já mete a mão na massa.
Passo 2
Definimos a função f por partes assim:
Ou seja, se x for racional a gente devolve a menor distância de x a um inteiro; se for irracional, devolve 0.]
Passo 3
Vamos mostrar que f é contínua em qualquer n∈ℤ.
- Note que f(n)=d(n,ℤ)=0 porque n está em ℤ.
- Para x próximo de n, a menor distância até n satisfaz
- Logo, seja ε>0. Se escolher δ=ε, então sempre que |x−n|<δ vem |f(x)−f(n)|=f(x)≤d(x,ℤ)≤|x−n|<ε.
- Isso vale tanto para x racional quanto irracional, porque em todo caso f(x)≤d(x,ℤ).
Conclusão: limite f(x) quando x→n vale 0=f(n), ou seja, f é contínua em cada inteiro.
Passo 4
Agora em qualquer ponto x₀∉ℤ mostramos que f é descontínua. Divide em dois casos:
Caso A: x₀ irracional.
- f(x₀)=0.
- Se eu me aproximo de x₀ por uma sequência de racionais (ℚ é denso), em cada racional q perto de x₀ vale f(q)=d(q,ℤ)→d(x₀,ℤ)>0 (pois x₀ não é inteiro, então sua distância a ℤ é um número positivo).
- Mas se eu me aproximo por irracionais, f(vale)=0.
Logo as duas “vias” de aproximação dão limites diferentes (0 e d(x₀,ℤ)>0). Não há limite único, então é descontínua.
Caso B: x₀ racional não inteiro, digamos x₀=p/q com q≥2.
- f(x₀)=d(x₀,ℤ)>0.
- Aproximando por irracionais, f→0.
- Aproximando por outros racionais de denominador grande, f→d(x₀,ℤ).
De novo limitas diferentes, então descontínua.
Portanto, em qualquer x₀∉ℤ não existe limite f(x)→f(x₀) — f é descontínua.
Resposta
Um exemplo de função contínua apenas nos inteiros é
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