Calcule os limites abaixo:
lim t +infty(raiz3 x^2+2 x+1-raiz2 x)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos que calcular o limite xto+infty da expressão envolvendo uma raiz quadrada de um polinômio de grau 2 e um termo linear. O conteúdo envolvido é cálculo de limite de funções que crescem indefinidamente, e vamos precisar de técnicas de fatoração e racionalização para lidar com a diferença de duas quantidades que tendem a infinito.

Passo 2

Para entender o comportamento dessa diferença, lembramos que para x grande vale raizax^2+dotsapproxraiza,x. Entretanto, como estamos subtraindo outro termo que também cresce, é preciso escrever a expressão de modo a evidenciar o termo dominante e o que sobra. Uma forma é fatorar x dentro da raiz.

Passo 3

Fatorando x^2 dentro da raiz temos:
raiz3x^2+2x+1=xraiz3+2x+1x^2
Então a expressão original fica:
raiz3x^2+2x+1-raiz2,x = xl(raiz3+tfrac2x+tfrac1x^2 -raiz2r)

Passo 4

Agora, quando xto+infty o termo 2/x+1/x^2 tende a zero, logo
raiz3+tfrac2x+tfrac1x^2toraiz3
Isso faz com que o fator entre parênteses tenda a raiz3-raiz2>0. Como há um x multiplicando, o produto diverge para infinito.

Passo 5

Portanto, concluímos que a expressão cresce sem limite e o valor do limite é infinito.

Resposta

+infty

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