Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos que calcular o limite
da expressão envolvendo uma raiz quadrada de um polinômio de grau 2 e um termo linear. O conteúdo envolvido é cálculo de limite de funções que crescem indefinidamente, e vamos precisar de técnicas de fatoração e racionalização para lidar com a diferença de duas quantidades que tendem a infinito.
Passo 2
Para entender o comportamento dessa diferença, lembramos que para
grande vale
. Entretanto, como estamos subtraindo outro termo que também cresce, é preciso escrever a expressão de modo a evidenciar o termo dominante e o que sobra. Uma forma é fatorar
dentro da raiz.
Passo 3
Fatorando
dentro da raiz temos:
Então a expressão original fica:
Passo 4
Agora, quando
o termo
tende a zero, logo
Isso faz com que o fator entre parênteses tenda a
. Como há um
multiplicando, o produto diverge para infinito.
Passo 5
Portanto, concluímos que a expressão cresce sem limite e o valor do limite é infinito.