Ex. 2. Esboçar o domínio de cada função e dizer se é abereto, fechado, limitado ou conexo.
Z=raizy^2-x+log (x^2+y^2-1)

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o domínio de
Z = raizy^2-x ;+;logl(x^2+y^2-1r),
faça um esboço desse domínio no plano (x,y) e diga se ele é aberto, fechado, limitado ou conexo.

Passo 2

Para entrar em raizy^2-x precisamos de
y^2-x ;>=;0 Long<=ftrightarrow x ;<=;y^2
Para entrar em log(x^2+y^2-1) precisamos de
x^2+y^2-1 ;>;0 Long<=ftrightarrow x^2+y^2 ;>;1
Logo o domínio é
D ;=;l(x,y)in R^2mid x<= y^2 e x^2+y^2>1r

Passo 3

Esboço do domínio D:
– A curva x=y^2 é uma parábola voltada para a direita, vértice em (0,0).
– A curva x^2+y^2=1 é o círculo unitário.
O domínio é a região exterior ao círculo (pois x^2+y^2>1) mas restrita ao lado esquerdo da parábola (pois x<= y^2).

Passo 4

Verificação de abertura:
– A condição x^2+y^2>1 é uma desigualdade estrita, dá uma região aberta no exterior do círculo.
– A condição x<= y^2 é não estrita, inclui pontos sobre a parábola.
Portanto há pontos em D sobre x=y^2 para os quais não cabe bola aberta toda em D.
Conclusão: D não é aberto.

Passo 5

Verificação de fechamento:
– A fronteira por x^2+y^2=1 contém pontos-limite de D que não estão em D (pois ali x^2+y^2=1 viola a desigualdade estrita).
Portanto D não é fechado.

Passo 6

Verificação de limitado:
– Como exige x^2+y^2>1, estamos fora do círculo, mas não há nenhuma restrição de máximo em |(x,y)|.
Logo D se estende ao infinito e não é limitado.

Passo 7

Verificação de conexidade:
– A região exterior ao círculo é conexa.
– A intersecção com a região “ x<= y^2” (que é também conexa e intercepta a parte externa do círculo) resulta em um único “bloco” sem separar componentes.
Logo D é conexo.

Resposta

O domínio é
D=(x,y)mid x<= y^2, x^2+y^2>1
Ele não é aberto, não é fechado, não é limitado e é conexo.

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