Ex. 2. Esboçar o domínio de cada função e dizer se é abereto, fechado, limitado ou conexo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre o domínio de
faça um esboço desse domínio no plano
e diga se ele é aberto, fechado, limitado ou conexo.
Passo 2
Para entrar em
precisamos de
Para entrar em
precisamos de
Logo o domínio é
Passo 3
Esboço do domínio
:
– A curva é uma parábola voltada para a direita, vértice em
.
– A curva é o círculo unitário.
O domínio é a região exterior ao círculo (pois ) mas restrita ao lado esquerdo da parábola (pois
).
– A curva
– A curva
O domínio é a região exterior ao círculo (pois
Passo 4
Verificação de abertura:
– A condição é uma desigualdade estrita, dá uma região aberta no exterior do círculo.
– A condição é não estrita, inclui pontos sobre a parábola.
Portanto há pontos em sobre
para os quais não cabe bola aberta toda em
.
Conclusão: não é aberto.
– A condição
– A condição
Portanto há pontos em
Conclusão:
Passo 5
Verificação de fechamento:
– A fronteira por contém pontos-limite de
que não estão em
(pois ali
viola a desigualdade estrita).
Portanto não é fechado.
– A fronteira por
Portanto
Passo 6
Verificação de limitado:
– Como exige , estamos fora do círculo, mas não há nenhuma restrição de máximo em
.
Logo se estende ao infinito e não é limitado.
– Como exige
Logo
Passo 7
Verificação de conexidade:
– A região exterior ao círculo é conexa.
– A intersecção com a região “ ” (que é também conexa e intercepta a parte externa do círculo) resulta em um único “bloco” sem separar componentes.
Logo é conexo.
– A região exterior ao círculo é conexa.
– A intersecção com a região “
Logo
Resposta
O domínio é
Ele não é aberto, não é fechado, não é limitado e é conexo.