Em cada item a seguir, determine se a função dada é contínua no ponto indicado.
f(x)=ll2+sen(pi x), & se x <= 2, 2 x-2, & se x>2, no ponto 2 ;

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos uma função por partes:
f(x)= 2+sin(pi x), & x<=2, 2x-2, & x>2
A pergunta é: “essa função é contínua em x=2?”
Isso envolve o conteúdo de continuidade de funções no ponto, que usa limites laterais e valor da função. Para resolver, vamos precisar de:
  1. saber a definição de função contínua em a;
  2. calcular f(2);
  3. calcular limxto2^-f(x) e limxto2^+f(x);
  4. comparar tudo.

Passo 2

Pela definição, primeiro a gente vê o valor de f em x=2. Como 2<=2, usamos a parte
f(2)=2+sin(picdot2)=2+sin(2pi)=2+0=2

Passo 3

Agora o limite à esquerda:
limxto2^-f(x) =limxto2^-l(2+sin(pi x)r) =2+sin(picdot2) =2+0 =2
Aqui usamos que sin(pi x) é contínua e basta substituir x=2.

Passo 4

E o limite à direita:
limxto2^+f(x) =limxto2^+(2x-2) =2cdot2-2 =2
Função linear também é contínua, então dá pra substituir direto.

Passo 5

Pela definição de continuidade em a=2, precisamos de:
  1. f(2) existe;
  2. limxto2^-f(x) existe;
  3. limxto2^+f(x) existe;
  4. todos esses valores são iguais.
    Aqui f(2)=2, limxto2^-f(x)=2 e limxto2^+f(x)=2. Como deu tudo igual, a função é contínua em x=2.

Resposta

Sim. A função f é contínua no ponto x=2.

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