Para cada item a seguir, determine a lei de formação da função composta
e o conjunto de pontos em que ela é contínua:
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a lei de formação da função composta
, onde e . - Determinar o conjunto de pontos (domínio) onde essa função composta é contínua.
Informações fornecidas pelo enunciado:
-
. (A raiz quadrada real está definida somente para argumentos maiores ou iguais a zero.) -
. (Função racional com denominador ; portanto não está definida em .)
Passo 2
Entender o domínio da composta: regra geral\n
Para que esteja definida num ponto
é preciso que:
Para que
-
esteja no domínio de (ou seja, exista); e -
pertença ao domínio de .
Aqui:
- Domínio de
é todos os tais que . - Domínio de
é , porque só é real quando .
Logo o domínio da composta é
Passo 3
Resolver a desigualdade
passo a passo\n
Para resolver fazemos análise de sinais dos fatores
e
.
Para resolver
Pontos críticos (onde numerador ou denominador são zero):
-
torna o numerador zero (a fração vale aí). -
torna o denominador zero (a fração é indefinida aí).
Dividimos a reta em intervalos usando esses pontos:
,
,
.
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo:
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo:
- Em
(no intervalo ): . Portanto a fração é positiva nesse intervalo. - Em
(no intervalo ): . Portanto negativa nesse intervalo. - Em
(no intervalo ): . Portanto positiva nesse intervalo.
Agora verificamos os pontos críticos:
- Em
a fração vale , e a desigualdade é não estrita ( ), então é permitido. - Em
a fração é indefinida, então é proibido.
Assim a solução da desigualdade é
Lembrando também que
já estava exigido; isso já está respeitado na união acima.
Passo 4
Conclusão sobre o domínio da composta\n
Portanto o domínio de é
Portanto o domínio de
Passo 5
Escrever a lei de formação da composta\n
Como , a composição é simplesmente aplicar
dentro de
. Logo, para
,
Como
Aqui a raiz é a raiz quadrada principal (sempre não negativa).
Passo 6
Determinar a continuidade: princípios usados\n
Fatos utilizados (explicados de forma simples):
Fatos utilizados (explicados de forma simples):
- Qualquer função polinomial ou racional é contínua em cada ponto do seu domínio; no caso
é contínua para todo . - A função
é contínua em todo o seu domínio . - Teorema da composição: se
é contínua em e é contínua em , então é contínua em .
Passo 7
Aplicar os princípios ao nosso caso\n
- Para qualquer
, tem-se que é contínua em (pois ) e (pela solução da desigualdade), então é contínua em . Logo é contínua em cada . - Para qualquer
, mesma argumentação: é contínua em e , logo é contínua em . - Em
: . é contínua em e é contínua em (ponto do domínio de ). Logo é contínua em . - Em
: a composta não está nem definida, portanto não é contínua aí.
Portanto a função composta é contínua em todo o seu domínio
.
Resposta
Conjunto de continuidade: