Para cada item a seguir, determine a lei de formação da função composta (f \circ g)(x) e o conjunto de pontos em que ela é contínua:
f(x)=\sqrt{x} e g(x)=\frac{x-1}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar a lei de formação da função composta (f\circ g)(x), onde f(x)=\sqrt{x} e g(x)=\dfrac{x-1}{x+2}.
  • Determinar o conjunto de pontos (domínio) onde essa função composta é contínua.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • f(x)=\sqrt{x}. (A raiz quadrada real está definida somente para argumentos maiores ou iguais a zero.)
  • g(x)=\dfrac{x-1}{x+2}. (Função racional com denominador x+2; portanto g não está definida em x=-2.)

Passo 2

Entender o domínio da composta: regra geral\n
Para que (f\circ g)(x) esteja definida num ponto x é preciso que:
  1. x esteja no domínio de g (ou seja, g(x) exista); e
  2. g(x) pertença ao domínio de f.
Aqui:
  • Domínio de g é todos os x tais que x\neq -2.
  • Domínio de f é [0,\infty), porque \sqrt{t} só é real quando t\ge 0.
Logo o domínio da composta é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -2 \text{ e } \frac{x-1}{x+2}\ge 0\}.

Passo 3

Resolver a desigualdade \dfrac{x-1}{x+2}\ge 0 passo a passo\n
Para resolver \dfrac{x-1}{x+2}\ge 0 fazemos análise de sinais dos fatores x-1 e x+2.
Pontos críticos (onde numerador ou denominador são zero):
  • x=1 torna o numerador zero (a fração vale 0 aí).
  • x=-2 torna o denominador zero (a fração é indefinida aí).
Dividimos a reta em intervalos usando esses pontos: (-\infty,-2), (-2,1), (1,\infty).
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo:
  • Em x=-3 (no intervalo (-\infty,-2)): \dfrac{-3-1}{-3+2}=\dfrac{-4}{-1}=4>0. Portanto a fração é positiva nesse intervalo.
  • Em x=0 (no intervalo (-2,1)): \dfrac{0-1}{0+2}=\dfrac{-1}{2}<0. Portanto negativa nesse intervalo.
  • Em x=2 (no intervalo (1,\infty)): \dfrac{2-1}{2+2}=\dfrac{1}{4}>0. Portanto positiva nesse intervalo.
Agora verificamos os pontos críticos:
  • Em x=1 a fração vale 0, e a desigualdade é não estrita ( \ge 0), então x=1 é permitido.
  • Em x=-2 a fração é indefinida, então x=-2 é proibido.
Assim a solução da desigualdade é
(-\infty,-2)\cup[1,\infty).
Lembrando também que x\neq -2 já estava exigido; isso já está respeitado na união acima.

Passo 4

Conclusão sobre o domínio da composta\n
Portanto o domínio de (f\circ g) é
\mathcal{D}=( -\infty,-2 )\cup[1,\infty).

Passo 5

Escrever a lei de formação da composta\n
Como f(x)=\sqrt{x}, a composição é simplesmente aplicar g dentro de f. Logo, para x\in\mathcal{D},
(f\circ g)(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}.
Aqui a raiz é a raiz quadrada principal (sempre não negativa).

Passo 6

Determinar a continuidade: princípios usados\n
Fatos utilizados (explicados de forma simples):
  • Qualquer função polinomial ou racional é contínua em cada ponto do seu domínio; no caso g(x)=\dfrac{x-1}{x+2} é contínua para todo x\neq -2.
  • A função f(t)=\sqrt{t} é contínua em todo o seu domínio [0,\infty).
  • Teorema da composição: se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f\circ g é contínua em a.

Passo 7

Aplicar os princípios ao nosso caso\n
  • Para qualquer a\in(-\infty,-2), tem-se que g é contínua em a (pois a\neq -2) e g(a)>0 (pela solução da desigualdade), então f é contínua em g(a). Logo f\circ g é contínua em cada a\in(-\infty,-2).
  • Para qualquer a\in(1,\infty), mesma argumentação: g é contínua em a e g(a)>0, logo f\circ g é contínua em a.
  • Em a=1: g(1)=0. g é contínua em 1 e f é contínua em 0 (ponto do domínio de f). Logo f\circ g é contínua em 1.
  • Em x=-2: a composta não está nem definida, portanto não é contínua aí.
Portanto a função composta é contínua em todo o seu domínio \mathcal{D}.

Resposta

(f\circ g)(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}\n
Conjunto de continuidade: ( -\infty,-2 )\cup[1,\infty)

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