Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
W=\left\{a+b x+c x^{2} \in \mathcal{P}_{2} ; a+b+c=1\right\}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathcal{P}_2 (polinômios de grau <=2) e o subconjunto
W = \{\,a + b x + c x^{2}\in \mathcal{P}_{2} \mid a+b+c=1\}.
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
1. O vetor zero de V deve pertencer a W.
2. W deve ser fechado sob soma de vetores.
3. W deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação do vetor zero. O vetor zero em \mathcal{P}_2 é o polinômio
0(x)=0 + 0\,x + 0\,x^2.
Para que 0(x) pertencesse a W, precisaríamos ter
a+b+c = 0 + 0 + 0 = 1,
o que não ocorre. Logo, 0(x)\notin W.

Passo 3

Como o primeiro requisito (incluir o vetor zero) já falha, não precisamos checar fechamento em soma e escalar. De fato, a ausência do zero em W impede que W seja subespaço.

Resposta

W não é subespaço de V.

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