Em cada item a seguir, determine se os vetores dados são LI ou LD, justificando sua resposta.
(b) u=t^3+4 t^2-2 t+3, v=-t^3+6 t^2-t+4 e w=3 t^3+8 t^2-8 t+7

Passo 1

O enunciado dá três polinômios
u(t)=t^3+4t^2-2t+3, v(t)=-,t^3+6t^2-t+4, w(t)=3t^3+8t^2-8t+7
no espaço vetorial a t^3+b t^2+c t+d. Queremos saber se u,v,w é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Para isso, vamos impor que uma combinação linear seja o polinômio nulo e ver se isso força só a solução trivial.

Passo 2

Considere
alpha,u(t)+beta,v(t)+gamma,w(t)=0
para todo t. Igualando coeficientes de t^3,t^2,t,1 obtemos o sistema
alpha-beta+3gamma=0, 4alpha+6beta+8gamma=0, -2alpha-beta-8gamma=0, 3alpha+4beta+7gamma=0

Passo 3

Da primeira equação vem
alpha=beta-3gamma
Substituindo na segunda:
4(beta-3gamma)+6beta+8gamma=0 Longrightarrow 10beta-4gamma=0 Longrightarrow beta=tfrac25gamma
Logo
alpha=tfrac25gamma-3gamma=-tfrac135gamma

Passo 4

Agora, na terceira equação:
-2l(-tfrac135gammar)-tfrac25gamma-8gamma=0 Longrightarrow -tfrac165gamma=0 Longrightarrow gamma=0
Então beta=0 e alpha=0. A quarta equação também fica satisfeita.

Resposta

Como a única solução é alpha=beta=gamma=0, os vetores u,v,w são linearmente independentes.

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